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確率・統計の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学確率・統計

確率変数 $X$ は区間 $(0, 1)$ 上の一様分布に従い、その確率密度関数は
$f_{X} (x) = {10 (0 < x < 1) (それ以外)$
であるとする。 $Y = - lo g X$ とおく（ $lo g$ は自然対数）。 $y > 0$ における $Y$ の確率密度関数 $f_{Y} (y)$ を $y$ の式で求めよ。

この問題で使うもの

確率変数の変換（説明と入口の問題）
対数の定義と性質（説明と入口の問題）
指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）
連続型確率変数と確率密度関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（65 技能）

算数中学高校大学大学院

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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

確率変数の変換の技能のうち、「累積分布関数 $P (Y \leq y)$ を求めてから $y$ で微分する」方法を使いましょう。

ヒント 2

$- lo g X \leq y$ を $X$ についての不等式に直すと $X \geq e^{- y}$ となります。

ヒント 3

$P (Y \leq y) = P (X \geq e^{- y}) = 1 - e^{- y}$ $(y > 0)$ です。これを $y$ で微分します。

答えと解説

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e^{- y}

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解説を読む

累積分布関数を求めてから微分する方法を使う。

手順1： $Y$ のとりうる値を確認する。 $0 < X < 1$ なので $lo g X < 0$ 、よって $Y = - lo g X > 0$ である。

手順2： $Y$ の累積分布関数 $F_{Y} (y) = P (Y \leq y)$ を $X$ の確率に書き直す。 $y > 0$ とする。
$Y \leq y ⟺ - lo g X \leq y ⟺ lo g X \geq - y ⟺ X \geq e^{- y}$
（ $lo g$ は増加関数なので不等号の向きは変わらない）。 $y > 0$ より $0 < e^{- y} < 1$ だから、
$F_{Y} (y) = P (X \geq e^{- y}) = \int_{e^{- y}}^{1} 1 d x = 1 - e^{- y} .$

手順3： $y$ で微分して密度を得る。
$f_{Y} (y) = \frac{d}{d y} F_{Y} (y) = \frac{d}{d y} (1 - e^{- y}) = e^{- y} (y > 0) .$

（確認） $\int_{0}^{\infty} e^{- y} d y = 1$ となり、確率密度関数の条件を満たす。 $Y$ は平均 $1$ の指数分布に従う。

よって $f_{Y} (y) = e^{- y}$ である。

別解

$Y = - lo g X$ で $X \in (0, 1)$ なので $Y \in (0, \infty)$ 。 $y > 0$ に対し、分布関数は $P (Y \leq y) = P (- lo g X \leq y) = P (X \geq e^{- y}) = 1 - e^{- y}$ 。これを $y$ で微分して $f_{Y} (y) = e^{- y}$ 。
別解（変数変換）: $x = e^{- y}$ より $∣ d x / d y ∣ = e^{- y}$ なので $f_{Y} (y) = f_{X} (e^{- y}) \cdot e^{- y} = e^{- y}$ 。
検算: $\int_{0}^{\infty} e^{- y} d y = 1$ で確率密度として正しい。 $Y$ は母数 1 の指数分布に従う。

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