確率・統計の問題

定数 $c$ に対して、連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}c{x}^2(1-x{)}^3& (0<x<1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
で与えられている。ベータ関数 $B(p,q)={\int }_0^1{x}^{p-1}(1-x{)}^{q-1}dx$ $(p>0,q>0)$ と、ガンマ関数との関係 $B(p,q)=\frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}$ を用いて、定数 $c$ の値を求めよ。

$c$ を定数とする。確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}c{x}^2(1-x{)}^3& (0<x<1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
で与えられている。ベータ関数 $B(p,q)={\int }_0^1{x}^{p-1}(1-x{)}^{q-1}dx$ $(p>0,q>0)$ と、関係式 $B(p,q)=\frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}$、およびガンマ関数の漸化式 $\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)$、$\Gamma (1)=1$ を用いて、定数 $c$ の値を求めよ。

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が、定数 $c$ を用いて
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}c{x}^2(2-x)& (0\le x\le 2)\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
で与えられている。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

連続型確率変数 $X,Y$ の同時確率密度関数が
$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}8xy& (0<x<y<1)\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
で与えられている。$X$ と $Y$ の相関係数 $\rho (X,Y)=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}}$ を求めよ。

確率変数 $X$ は区間 $(0,1)$ 上の一様分布に従うとする。すなわち $X$ の確率密度関数は
$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}1& (0<x<1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
である。$Y=X^3$ とおくとき、$0<y<1$ における $Y$ の確率密度関数 $f_Y(y)$ を $y$ の式で求めよ。