一様分布・指数分布

確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
で与えられている（パラメータ $2$ の指数分布）。$X>1$ という条件のもとで $X>3$ となる条件付き確率 $P(X>3\mid X>1)$ を求めよ。

ある電子部品の寿命 $X$（単位：年）は、確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{e}^{-x/2}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
の指数分布に従うとする。この部品が $3$ 年たっても故障していなかったとき、さらに $2$ 年以上故障しない確率、すなわち条件付き確率 $P(X>5\mid X>3)$ を求めよ。

ある電子部品の寿命 $X$（年）は、確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3}{e}^{-x/3}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
をもつ指数分布に従うとする。この部品が $2$ 年後に故障していないとき、$5$ 年後にも故障していない条件付き確率 $P(X>5\mid X>2)$ を求めよ。

確率変数 $X$ は、確率密度関数が
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
である指数分布に従うとする。$X$ の特性関数 $\phi (t)=E\left(e^{itX}\right)$（$t$ は実数、$i$ は虚数単位）を $t$ の式で求めよ。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_{300}$ は互いに独立で、それぞれ区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとする。
$$S=X_1+X_2+\cdots +X_{300}$$
とおく。中心極限定理を用いて $S$ の分布を正規分布で近似し、確率 $P(S\leqq 160)$ の近似値を求めよ。ただし、標準正規分布に従う確率変数 $Z$ について $P(0\leqq Z\leqq 2)=0.4772$ とし、答えは小数第 4 位までの小数で答えよ。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_{48}$ は互いに独立で、どれも区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとする。これらの和を
$$S=X_1+X_2+\cdots +X_{48}$$
とおく。中心極限定理による正規分布での近似を用いて、確率 $P(S\geqq 26)$ の近似値を小数第 4 位まで求めよ。ただし、標準正規分布 $N(0,1)$ に従う確率変数 $Z$ について $P(Z\leqq 1)=0.8413$ とする。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数 $X$ が区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$a_n=E\left[{\left(1+\frac{X}{n}\right)}^n\right]$$
とおく。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

$n\ge 2$ を整数とする。確率変数 $X_n$ は、パラメータ $\frac{1}{n}$ の幾何分布に従うとする。すなわち
$$P(X_n=k)=\frac{1}{n}{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{k-1}(k=1,2,3,\dots )$$
である。$Y_n=\frac{X_n}{n}$ とおく。$Y_n$ の特性関数 ${\phi }_{Y_n}(t)=E\left[e^{it{Y}_n}\right]$ の $n\to \infty$ における極限を求めて $Y_n$ の分布の極限を決定し、それを用いて極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(X_n>2n)$$
を求めよ。

$n$ を正の整数とし、実数値確率変数 $Y_n$ の特性関数が
$${\phi }_n(t)=E\left[e^{it{Y}_n}\right]=\frac{1}{1+4n(n-1){\sin }^2\frac{t}{2n}}(t\in \mathbb{R})$$
で与えられているとする。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(|Y_n|\le \log 3\right)$$
を求めよ。

$n\ge 2$ を整数とします。確率変数 $X_n$ は、パラメータ $\frac{1}{n}$ の幾何分布に従うとします。すなわち
$$P(X_n=k)=\frac{1}{n}{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{k-1}(k=1,2,3,\dots )$$
です。$Y_n=\frac{X_n}{n}$ とおきます。特性関数を用いて $Y_n$ の分布の極限を調べ、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(Y_n>2)$$
を求めてください。ただし $i$ は虚数単位です。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数列 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立で、どれも平均 $1$ の指数分布（確率密度関数 $f(x)=e^{-x}(x\ge 0)$、$f(x)=0(x<0)$）に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$S_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k{e}^{-X_k}$$
とおく。確率 $1$ で極限 $L=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$ が存在し、$L$ は定数になる。この定数 $L$ を求めよ。

確率変数 $X$ は区間 $(0,1)$ 上の一様分布に従うとする。すなわち $X$ の確率密度関数は
$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}1& (0<x<1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
である。$Y=X^3$ とおくとき、$0<y<1$ における $Y$ の確率密度関数 $f_Y(y)$ を $y$ の式で求めよ。

確率変数 $X$ は区間 $[-1,2]$ 上の一様分布に従うとし、$Y=X^2$ とおく。$0<y<1$ における $Y$ の確率密度関数 $g(y)$ を $y$ の式で表せ。

$U_1,U_2,\dots$ を独立で、それぞれ区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従う確率変数とし、正の整数 $n$ に対して ${\overline{U}}_n=\frac{U_1+\cdots +U_n}{n}$ とおく。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}E\left[\left|{\overline{U}}_n-\frac{1}{2}\right|\right]$$
を求めよ。

$X_1,X_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、それぞれ確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
をもつもの（パラメータ $2$ の指数分布）とする。$N$ は $X_1,X_2,\dots$ と独立で、正の整数に値をとり
$$P(N=n)=\frac{1}{3}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす確率変数とする。
$$S=\sum _{k=1}^N{X}_k$$
とおくとき、確率 $P(S>3)$ を求めよ。

$\theta >0$ を未知の母数とし、$X_1,\dots ,X_n$（$n$ は $3$ 以上の整数）は互いに独立に、区間 $[0,\theta ]$ 上の一様分布に従うとする。$\theta$ の 2 つの推定量
$${\hat{\theta }}_1=\frac{2}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,{\hat{\theta }}_2=M=\max \{X_1,\dots ,X_n\}$$
を考える。推定量 $\hat{\theta }$ の平均二乗誤差を ${\mathrm{MSE}}_{\theta }(\hat{\theta })=E_{\theta }\left[(\hat{\theta }-\theta {)}^2\right]$ と定める。

${\hat{\theta }}_1$ は $\theta$ の不偏推定量で、${\hat{\theta }}_2$ は不偏推定量でない（バイアスが $0$ でない）にもかかわらず、すべての $\theta >0$ に対して
$${\mathrm{MSE}}_{\theta }({\hat{\theta }}_2)<{\mathrm{MSE}}_{\theta }({\hat{\theta }}_1)$$
が成り立つことを証明せよ。

確率変数 $X,Y$ は互いに独立で、それぞれ確率密度関数
$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array},f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2y}& (y>0)\\ 0& (y\le 0)\end{array}$$
をもつ。$T=\frac{X}{Y}$ とおくとき、$t>0$ における $T$ の確率密度関数 $g(t)$ を $t$ の式で表せ。

$\theta >0$ を未知の母数、$n$ を正の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta }{e}^{-x/\theta }& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
をもつ分布に従う。$\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ とおく。${\theta }^2$ の最尤推定量は ${\bar{X}}^2$ であるが、これは ${\theta }^2$ の不偏推定量ではない。$n$ のみによる定数 $c_n$ で、$c_n{\bar{X}}^2$ がすべての $\theta >0$ に対して ${\theta }^2$ の不偏推定量となるものを $n$ の式で表せ。

確率変数 $X$ は区間 $(0,1)$ 上の一様分布に従う。$X=x$ $(0<x<1)$ が与えられたとき、確率変数 $Y$ の条件付き分布は区間 $(0,x)$ 上の一様分布であるとする。$X$ と $Y$ の相関係数 $\rho (X,Y)$ を求めよ。

確率変数 $X,Y$ は互いに独立で、$X$ は確率密度関数 $2e^{-2x}(x>0)$、$Y$ は確率密度関数 $e^{-y}(y>0)$ をもつ（いずれも $0$ 以下では密度 $0$）。$W=\frac{X}{Y}$ とおくとき、$w>0$ における $W$ の確率密度関数 $g(w)$ を $w$ の式で表せ。

あるバス停でバスを待つ時間（単位: 分）は、$\theta$ が与えられたとき区間 $(0,\theta )$ 上の一様分布に従うとする（$\theta >0$ は未知の母数）。$\theta$ の事前分布として、確率密度関数
$$\pi (\theta )=\frac{3\cdot 2^3}{{\theta }^4}(\theta >2)$$
（$\theta \le 2$ では $\pi (\theta )=0$）のパレート分布を用いる。

$\theta$ が与えられたとき互いに独立な 5 回の待ち時間を観測したところ、
$$1.2,3.1,0.7,2.6,1.9$$
であった。このデータのもとでの $\theta$ の事後分布の平均（事後平均）を求めよ。

$N$ を平均 $2$ のポアソン分布に従う確率変数、すなわち $P(N=k)=e^{-2}\frac{2^k}{k!}$ $(k=0,1,2,\dots )$ を満たす確率変数とする。$X_1,X_2,\dots$ はそれぞれ平均 $1$ の指数分布（密度関数 $e^{-x}$ $(x>0)$）に従う確率変数で、$N,X_1,X_2,\dots$ は互いに独立であるとする。
$$S=\sum _{i=1}^N{X}_i$$
とおく（ただし $N=0$ のときは $S=0$ とする）。$E[S^3]$ を求めよ。

$X_1,X_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、それぞれ平均 $1$ の指数分布（密度関数 $e^{-x}$ $(x>0)$）に従うものとする。正の整数 $n$ に対して
$$A_n=\sum _{k=1}^n(X_k-1),B_n=\sum _{k=1}^n(X_k^2-2)$$
とおく。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(A_n>0\text{かつ}{B}_n>0\right)$$
を求めよ。

$\theta >0$ を未知の母数とし、$X_1,\dots ,X_n$（$n$ は $3$ 以上の整数）は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\theta x^{\theta -1}& (0<x<1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
をもつ分布に従うとする。$S=-\sum _{i=1}^n\log X_i$ とおき、
$$T=\frac{n-1}{S}$$
と定める。1 標本あたりのフィッシャー情報量を $I(\theta )=E_{\theta }\left[{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\log f(X_1;\theta )\right)}^2\right]$ とし、$\theta$ の不偏推定量に対するクラメール・ラオの下限を $\frac{1}{nI(\theta )}$ とする。

このとき、$T$ は $\theta$ の不偏推定量であり、すべての $\theta >0$ に対して $V_{\theta }(T)>\frac{1}{nI(\theta )}$ が成り立つ（すなわち $T$ の分散はクラメール・ラオの下限に達しない）ことを証明せよ。

ただし、互いに独立で、いずれも確率密度関数 $\theta e^{-\theta y}(y>0)$ をもつ $n$ 個の確率変数の和は、確率密度関数 $\frac{{\theta }^n{s}^{n-1}{e}^{-\theta s}}{(n-1)!}(s>0)$ をもつこと（ガンマ分布の再生性）と、正の整数 $k$ に対して ${\int }_0^{\infty }{s}^{k-1}{e}^{-\theta s}ds=\frac{(k-1)!}{{\theta }^k}$ であることは用いてよい。

$\theta >0$ を未知の母数とし、$X_1,\dots ,X_n$（$n$ は正の整数）は互いに独立に、区間 $[0,\theta ]$ 上の一様分布に従うとする。$0<\alpha <1$ を定数とし、帰無仮説 $H_0:\theta \le 1$、対立仮説 $H_1:\theta >1$ の検定として、
$$M=\max \{X_1,\dots ,X_n\},c=(1-\alpha {)}^{1/n}$$
とおき「$M>c$ のとき $H_0$ を棄却する」検定を考える。この検定の検出力関数を $\beta (\theta )=P_{\theta }(M>c)(\theta >0)$ と定める。

このとき
$$\underset{0<\theta \le 1}{\sup }\beta (\theta )=\alpha$$
（すなわちこの検定のサイズは $\alpha$）であり、さらにすべての $\theta >1$ に対して
$$\beta (\theta )=1-\frac{1-\alpha }{{\theta }^n}>\alpha$$
が成り立つ（対立仮説のもとでの検出力は常に $\alpha$ を超える）ことを証明せよ。

$\theta >0$ を未知の母数、$n$ を正の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta }& (\theta \le x\le 2\theta )\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
をもつ分布（閉区間 $[\theta ,2\theta ]$ 上の一様分布）に従うとする。$X_1,\dots ,X_n$ にもとづく $\theta$ の最尤推定量を $\hat{\theta }$ とするとき、平均二乗誤差 $E\left[(\hat{\theta }-\theta {)}^2\right]$ を $n,\theta$ の式で表せ。

確率変数 $X$ の特性関数 ${\phi }_X(t)=E\left[e^{itX}\right]$ が
$${\phi }_X(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin 2t\sin t}{2t^2}& (t\ne 0)\\ 1& (t=0)\end{array}$$
で与えられている（$t$ は実数）。確率 $P\left(|X|\le \frac{3}{2}\right)$ を求めよ。

確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{x}^2{e}^{-x}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
で与えられている。$X=x$ $(x>0)$ が与えられたとき、確率変数 $Y$ の条件付き確率密度関数は
$$f_{Y\mid X}(y\mid x)=\{\begin{array}{ll}x{e}^{-xy}& (y>0)\\ 0& (y\le 0)\end{array}$$
であるとする。$X$ と $Y$ の相関係数 $\rho (X,Y)$ を求めよ。

確率変数 $X,Y$ は互いに独立で、どちらも区間 $(0,1)$ 上の一様分布に従う。$Z=X{Y}^2$ とおく。$Z$ の中央値、すなわち $P(Z\le m)=\frac{1}{2}$ を満たす実数 $m$ を求めよ。

実数値確率変数 $X$ の特性関数が
$${\phi }_X(t)=E\left[e^{itX}\right]=\frac{{\sin }^{2}t}{t^2(1+t^2)}(t\ne 0),{\phi }_X(0)=1$$
で与えられているとする。${\phi }_X$ は $\mathbb{R}$ 上で可積分なので、$X$ は $\mathbb{R}$ 上で連続な確率密度関数 $f$ をもつ。$f(2)$ の値を求めよ。

$\theta >0$ を未知の母数とし、$n$ を正の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta }& (\theta \le x\le 2\theta )\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
をもつ分布に従うとする。$\theta$ の最尤推定量を $\hat{\theta }$ とし、定数 $c_n$ を $T=c_n\hat{\theta }$ が $\theta$ の不偏推定量となるように定める。このとき $T$ の分散 $V(T)$ を $n,\theta$ を用いて表せ。

確率変数 $N$ は平均 $2$ のポアソン分布に従い、$X_1,X_2,\dots$ は互いに独立で、いずれも確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
をもつ。さらに $N$ と $X_1,X_2,\dots$ は独立とする。
$$S=\sum _{i=1}^N{X}_i(\text{ただし }N=0\text{ のときは }S=0)$$
とおくとき、$E[S^3]$ を求めよ。

$\theta >0$ を未知の母数とし、$n$ を $3$ 以上の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\theta x^{\theta -1}& (0<x<1)\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
をもつ分布に従うとする。$\theta$ の最尤推定量を $\hat{\theta }$ とし、定数 $c_n$（$\theta$ によらない）を $c_n\hat{\theta }$ が $\theta$ の不偏推定量となるように定める。このとき分散 $V(c_n\hat{\theta })$ を $n,\theta$ の式で表せ。

確率変数 $X,Y,Z$ を次のように定める。
- $X$ は区間 $(0,1)$ 上の一様分布に従う。
- $X=x$ が与えられたとき、$Y$ の条件付き分布は区間 $(0,x)$ 上の一様分布である。
- $X=x,Y=y$ が与えられたとき、$Z$ の条件付き分布は区間 $(0,y)$ 上の一様分布である（$x$ にはよらない）。

このとき、$X$ と $Z$ の相関係数 $\rho (X,Z)=\frac{\mathrm{Cov}(X,Z)}{\sqrt{V(X)V(Z)}}$ を求めよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\frac{x}{\theta }\exp \left(-\frac{x^2}{2\theta }\right)(x>0),f(x\mid \theta )=0(x\le 0)$$
をもつ分布に従うとする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。$g(\theta )=\sqrt{\theta }$ の推定量として
$$T=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\bar{X},\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$
を考える（$T$ は $\sqrt{\theta }$ の不偏推定量である）。$\sqrt{\theta }$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L(\theta )$ とするとき、$T$ の効率 $\frac{L(\theta )}{V(T)}$ を求めよ。ただし、クラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件は満たされているものとし、必要なら ${\int }_0^{\infty }{e}^{-u^2/2}du=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ を用いてよい。

$n$ を $3$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta x^{\theta -1}(0<x<1)$$
（$0<x<1$ 以外では $f(x\mid \theta )=0$）に従う確率変数とする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。

$S=-\sum _{i=1}^n\log X_i$ とおき、$\theta$ の推定量
$$T=\frac{n-1}{S}$$
を考える（$T$ は $\theta$ の不偏推定量である）。$\theta$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L(\theta )$ とするとき、比 $\frac{L(\theta )}{V(T)}$ を $n$ の式で求めよ。

$X_1,X_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、それぞれ確率密度関数 $$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$ をもつもの（パラメータ $1$ の指数分布）とする。正の整数 $m$ に対して $S_m=X_1+X_2+\cdots +X_m$ とおく。極限 $$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(S_n>n\text{かつ}{S}_{4n}<4n\right)$$ を求めよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ を互いに独立で、いずれも区間 $[-1,1]$ 上の一様分布（確率密度関数が $-1\le x\le 1$ で $\frac{1}{2}$、それ以外で $0$）に従う確率変数とする。$S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおく。このとき、すべての正の実数 $s$ に対して
$$P(S_n\ge s)\le \exp \left(-\frac{3s^2}{2n}\right)$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- 期待値の線形性と、マルコフの不等式（確率 $1$ で $Y\ge 0$ を満たし期待値が有限な確率変数 $Y$ と $a>0$ に対して $P(Y\ge a)\le \frac{E[Y]}{a}$）
- 互いに独立な有界な確率変数 $Y_1,\dots ,Y_n$ に対して $E[Y_1{Y}_2\cdots Y_n]=E[Y_1]E[Y_2]\cdots E[Y_n]$ であること、および $X_1,\dots ,X_n$ が独立ならば、実数値関数 $g$ による $g(X_1),\dots ,g(X_n)$ も独立であること
- 指数関数のマクローリン展開 $e^u=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{u^k}{k!}$ $(u\in \mathbb{R})$

$n$ を $2$ 以上の整数、$\lambda$ を未知の正の定数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、いずれも確率密度関数
$$f(x;\lambda )=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
をもつ指数分布に従う確率変数とし、$S=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおく。

このとき、$\lambda$ の最尤推定量は $\hat{\lambda }=\frac{n}{S}$ であり、さらに $\frac{n-1}{n}\hat{\lambda }=\frac{n-1}{S}$ は $\lambda$ の不偏推定量であることを証明せよ。

ただし、正の整数 $m$ に対して、$\lambda$ をパラメータとする指数分布に従う独立な $m$ 個の確率変数の和は確率密度関数
$$g_m(s)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\lambda }^m{s}^{m-1}{e}^{-\lambda s}}{(m-1)!}& (s>0)\\ 0& (s\le 0)\end{array}$$
をもつこと（したがって ${\int }_0^{\infty }{g}_m(s)ds=1$ であること）は用いてよい。また、観測値 $x_1,\dots ,x_n$ はすべて正であるとして最尤推定を考えてよい。

$\lambda$ を正の定数とする。確率変数 $X,Y$ は互いに独立で、いずれも確率密度関数
$$f(t)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda t}& (t>0)\\ 0& (t\le 0)\end{array}$$
をもつ指数分布に従うとする。
$$U=\frac{X}{X+Y},V=X+Y$$
とおく（$X,Y$ は確率 $1$ で正なので、$U,V$ は確率 $1$ で定まる）。このとき、$U$ は区間 $(0,1)$ 上の一様分布に従い、かつ $U$ と $V$ は独立であることを証明せよ。

ただし、次の 2 つの事実は用いてよい。
- （変数変換公式）$(X,Y)$ が開集合 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ の外では $0$ となる同時密度関数 $f_{X,Y}$ をもち、$\Phi :D\to E$ が開集合 $E$ への $C^1$ 級の全単射で、逆写像 $(u,v)\mapsto (x(u,v),y(u,v))$ も $C^1$ 級でそのヤコビアン $J(u,v)=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$ が $E$ 上で $0$ にならないとき、$(U,V)=\Phi (X,Y)$ の同時密度関数は $E$ 上で $f_{X,Y}(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|$、$E$ の外で $0$ である。
- 2 つの連続型確率変数が独立であることは、同時密度関数が各周辺密度関数の積に等しいことと同値である。