確率論の問題

積率母関数の計算. $t<1$ に対して $E[e^{t{X}_1}]={\int }_0^{\infty }{e}^{tx}{e}^{-x}dx=\frac{1}{1-t}$。$N$ と $X_i$ の独立性より、$N=k$ で条件づけると
$$M_S(t)=E[e^{tS}]=\sum _{k=0}^{\infty }P(N=k){\left(\frac{1}{1-t}\right)}^k=\sum _{k=0}^{\infty }{e}^{-2}\frac{1}{k!}{\left(\frac{2}{1-t}\right)}^k=\exp \left(2\left(\frac{1}{1-t}-1\right)\right).$$
これは $t=0$ の近傍で有限なので、モーメントは $M_S$ の微分（またはキュムラント）から求められる。

キュムラント. キュムラント母関数は、$|t|<1$ で
$$K(t)=\log M_S(t)=2\left(\frac{1}{1-t}-1\right)=2\sum _{n=1}^{\infty }{t}^n.$$
$K(t)={\sum }_{n\ge 1}{\kappa }_n\frac{t^n}{n!}$ と比べて ${\kappa }_n=2\cdot n!$。よって ${\kappa }_1=2$, ${\kappa }_2=4$, ${\kappa }_3=12$。

3 次モーメント. $M_S=e^K$ を 3 回微分すると $M_S^{\prime \prime \prime }=(K^{\prime \prime \prime }+3K^{\prime \prime }{K}^{\prime }+(K^{\prime }{)}^3)e^K$ なので、$t=0$ を代入して
$$E[S^3]={\kappa }_3+3{\kappa }_2{\kappa }_1+{\kappa }_1^3=12+3\cdot 4\cdot 2+2^3=12+24+8=44.$$

複合ポアソン分布のキュムラント母関数を用いる。$E[e^{tS}]=\exp \{\lambda (M_X(t)-1)\}$（$\lambda =2$, $M_X(t)=\frac{1}{1-t}$, $t<1$）。よって $\log E[e^{tS}]=2\left(\frac{1}{1-t}-1\right)=2{\sum }_{n\ge 1}{t}^n$。キュムラント ${\kappa }_n$ は $\log E[e^{tS}]=\sum {\kappa }_n{t}^n/n!$ の係数なので ${\kappa }_n=2\cdot n!$、すなわち ${\kappa }_1=2,{\kappa }_2=4,{\kappa }_3=12$。(これは ${\kappa }_n=\lambda E[X^n]=2n!$ と一致する。)\n3 次のモーメントとキュムラントの関係 $E[S^3]={\kappa }_3+3{\kappa }_2{\kappa }_1+{\kappa }_1^3$ より $E[S^3]=12+3\cdot 4\cdot 2+8=12+24+8=44$。\n検算: 条件付き期待値で直接計算する。$N=n$ のとき $S\sim \Gamma (n,1)$ で $E[S^3\mid N=n]=n(n+1)(n+2)=n^3+3n^2+2n$。ポアソン($\lambda =2$)のモーメント: $E[N]=2$, $E[N^2]=\lambda +{\lambda }^2=6$, $E[N^3]={\lambda }^3+3{\lambda }^2+\lambda =8+12+2=22$。よって $E[S^3]=22+3\cdot 6+2\cdot 2=22+18+4=44$。一致した。