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確率論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学確率論

$X_{1}, X_{2}, \dots, X_{8}$ を独立な確率変数で、それぞれ標準正規分布 $N (0, 1)$ に従うものとする。
$W = X_{1} X_{2} + X_{3} X_{4} + X_{5} X_{6} + X_{7} X_{8}$
とおく。確率 $P (W > 1)$ を求めよ。

この問題で使うもの

特性関数（説明と入口の問題）
条件付き分布と全期待値の公式（説明と入口の問題）
正規分布の密度と積率（説明と入口の問題）
同時分布・周辺分布と独立性（説明と入口の問題）
確率変数の和と積（独立な場合）（説明と入口の問題）
特性関数の性質と反転公式（説明と入口の問題）
広義積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（98 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず積 $X_{1} X_{2}$ の特性関数を、一方の変数で条件付けて計算してみましょう。

ヒント 2

$E [e^{i t X_{1} X_{2}} ∣ X_{2}] = e^{- t^{2} X_{2}^{2} /2}$ から $φ_{X_{1} X_{2}} (t) = (1 + t^{2})^{- 1/2}$ が得られます。また、 $\frac{1}{1 + t ^{2}}$ はラプラス分布（密度 $\frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣}$ ）の特性関数です。

ヒント 3

$φ_{W} (t) = (1 + t^{2})^{- 2}$ なので、 $W$ は独立な $2$ 個のラプラス分布の和と同じ分布に従います。その密度を畳み込みで求めると、 $x \geq 0$ で $\frac{1}{4} (1 + x) e^{- x}$ になります。

答えと解説

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\frac{3}{4 e}

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解説を読む

1. $X_{1} X_{2}$ の特性関数を求める。

$X_{1}$ と $X_{2}$ は独立です。 $X_{2}$ を条件とする条件付き期待値をとると、 $X_{1} \sim N (0, 1)$ の特性関数が $E [e^{i s X_{1}}] = e^{- s^{2} /2}$ であることから
$E [e^{i t X_{1} X_{2}} X_{2}] = e^{- t^{2} X_{2}^{2} /2}$
となります。よって
$φ_{X_{1} X_{2}} (t) = E [e^{- t^{2} X_{2}^{2} /2}] = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2 π} e^{- (1 + t^{2}) x^{2} /2} d x = \frac{1}{1 + t ^{2}}$
です。

2. $W$ の特性関数を求める。

$X_{1} X_{2}, X_{3} X_{4}, X_{5} X_{6}, X_{7} X_{8}$ は互いに独立で、どれも同じ分布に従います。独立な確率変数の和の特性関数は積になるので
$φ_{W} (t) = (\frac{1}{1 + t ^{2}})^{4} = \frac{1}{( 1 + t ^{2} ) ^{2}}$
です。

3. 分布を特定する。

密度 $g (x) = \frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣}$ をもつラプラス分布の特性関数は
$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣} e^{i t x} d x = Re \int_{0}^{\infty} e^{- (1 - i t) x} d x = Re \frac{1}{1 - i t} = \frac{1}{1 + t ^{2}}$
です。したがって $\frac{1}{( 1 + t ^{2} ) ^{2}}$ は、密度 $g$ をもつ独立な $2$ 個の確率変数の和の特性関数です。特性関数は分布を一意に定める（一意性定理）ので、 $W$ はその和と同じ分布に従います。 $W$ の密度は畳み込み $h = g * g$ です。

$x \geq 0$ のとき、積分区間を 3 つに分けて計算します。
$h (x) = \frac{1}{4} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- ∣ y ∣ - ∣ x - y ∣} d y = \frac{1}{4} (\int_{- \infty}^{0} e^{2 y - x} d y + \int_{0}^{x} e^{- x} d y + \int_{x}^{\infty} e^{x - 2 y} d y)$
各項はそれぞれ $\frac{e ^{- x}}{2}$ , $x e^{- x}$ , $\frac{e ^{- x}}{2}$ なので
$h (x) = \frac{1}{4} (1 + x) e^{- x} (x \geq 0)$
となります。 $h$ は偶関数なので $h (x) = \frac{1}{4} (1 + ∣ x ∣) e^{- ∣ x ∣}$ です。

4. 確率を計算する。
$P (W > 1) = \frac{1}{4} \int_{1}^{\infty} (1 + x) e^{- x} d x = \frac{1}{4} ([- e^{- x}]_{1}^{\infty} + [- (x + 1) e^{- x}]_{1}^{\infty}) = \frac{1}{4} (e^{- 1} + 2 e^{- 1}) = \frac{3}{4 e}$

よって $P (W > 1) = \frac{3}{4 e}$ です。

別解

$X_{1} X_{2}$ の特性関数は、 $X_{2}$ を条件づけて $E [e^{i t X_{1} X_{2}}] = E [e^{- t^{2} X_{2}^{2} /2}] = (1 + t^{2})^{- 1/2}$ となる。
独立な 4 項の和なので $W$ の特性関数は $(1 + t^{2})^{- 2}$ である。
ラプラス分布（密度 $\frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣}$ ）の特性関数は $(1 + t^{2})^{- 1}$ なので、 $W$ は独立な 2 つのラプラス確率変数の和と同じ分布をもつ。
その畳み込みから、 $W$ の密度は $f (w) = \frac{1}{4} (1 + ∣ w ∣) e^{- ∣ w ∣}$ である。
全確率は $2 \cdot \frac{1}{4} \int_{0}^{\infty} (1 + w) e^{- w} d w = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ となり、正規化の確認がとれる。
求める確率は
$P (W > 1) = \frac{1}{4} \int_{1}^{\infty} (1 + w) e^{- w} d w = \frac{1}{4} [- (2 + w) e^{- w}]_{1}^{\infty} = \frac{3}{4 e} .$

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