正規分布の密度と積率

正規分布の密度が積分して 1 になることを確かめ、 $E (Z^{2 k})$ などの積率を計算できる

前提

正規分布と標準化（数学B 統計的な推測）
ガウス積分（大学数学微分積分）

この技能までの道筋（65 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
確率の定義と和事象・余事象（数学A 場合の数と確率）
期待値（数学A 場合の数と確率）
確率変数と確率分布（数学B 統計的な推測）
平均と合計（算数いろいろな文章題）
平均値・中央値・最頻値（中学数学データの活用）
代表値（平均値・中央値・最頻値）（数学I データの分析）
分散と標準偏差（数学I データの分析）
変量の変換と平均・分散（数学I データの分析）
確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （数学B 統計的な推測）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
連続型確率変数と確率密度関数（数学B 統計的な推測）
正規分布と標準化（数学B 統計的な推測）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
広義積分（大学数学微分積分）
ガウス積分（大学数学微分積分）

説明

標準正規分布 $N (0, 1)$ の密度 $φ (z) = \frac{1}{2 π} e^{- z^{2} /2}$ が本当に確率密度になっていること（全体で積分すると 1 になること）を、ガウス積分から確かめます。さらに、 $Z$ が $N (0, 1)$ に従うときの積率 $E (Z^{n})$ （ $n$ は正の整数）を、部分積分の漸化式で求めます。 $E (Z^{2}) = 1$ 、 $E (Z^{4}) = 3$ のような値は、正規分布の分散・尖り具合の計算や、 $X \sim N (m, σ^{2})$ の $E ((X - m)^{4})$ などの計算に使います。

なぜそうしてよいのか

密度の積分が 1 になる理由。 ガウス積分 $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- t^{2}} d t = π$ で $z = 2 t$ （ $d z = 2 d t$ ）と置換すると、 $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- z^{2} /2} d z = 2 \int_{- \infty}^{\infty} e^{- t^{2}} d t = 2 π$ です。そこで $2 π$ で割った $φ (z) = \frac{1}{2 π} e^{- z^{2} /2}$ は、積分すると 1 になります。一般の $N (m, σ^{2})$ （ $σ > 0$ ）の密度 $f (x) = \frac{1}{2 π σ} e^{- (x - m)^{2} / (2 σ^{2})}$ も、 $z = \frac{x - m}{σ}$ （ $d x = σ d z$ ）と置換すれば $\int φ (z) d z = 1$ に帰着します。

積率の計算。 $E (Z^{n}) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} z^{n} e^{- z^{2} /2} d z$ です。 $e^{- z^{2} /2}$ は多項式よりはるかに速く 0 に近づくので、この広義積分は収束します（ $∣ z ∣$ が大きいところで $∣ z ∣^{n + 2} e^{- z^{2} /2}$ は有界なので、被積分関数の絶対値は $\frac{C}{z ^{2}}$ 以下になります）。 $n$ が奇数なら被積分関数は奇関数なので、積分は 0 です。

$n \geq 2$ が偶数のときは、 $z^{n} e^{- z^{2} /2} = z^{n - 1} \cdot z e^{- z^{2} /2}$ と分け、 $(- e^{- z^{2} /2})^{'} = z e^{- z^{2} /2}$ を使って部分積分します。 $\int_{- R}^{R} z^{n - 1} \cdot z e^{- z^{2} /2} d z = [- z^{n - 1} e^{- z^{2} /2}]_{- R}^{R} + (n - 1) \int_{- R}^{R} z^{n - 2} e^{- z^{2} /2} d z$ で、境界の項は $R \to \infty$ で 0 になります。したがって漸化式 $E (Z^{n}) = (n - 1) E (Z^{n - 2})$ が成り立ちます。 $E (Z^{0}) = 1$ （密度の積分）から始めて繰り返すと、 $E (Z^{2 k}) = (2 k - 1) (2 k - 3) \dots 3 \cdot 1 = \frac{( 2 k )!}{2 ^{k} k !}$ が得られます。

手順

密度の積分を確かめる: $z = 2 t$ と置換してガウス積分を使い、 $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- z^{2} /2} d z = 2 π$ を示す。これで $\int φ (z) d z = 1$ となる（一般の $N (m, σ^{2})$ は $z = \frac{x - m}{σ}$ と置換して帰着させる）。
求める積率を積分で書く: $E (Z^{n}) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} z^{n} e^{- z^{2} /2} d z$ 。 $n$ が奇数なら被積分関数が奇関数なので $E (Z^{n}) = 0$ とする。
$n \geq 2$ が偶数なら $z^{n - 1} \cdot z e^{- z^{2} /2}$ と分けて部分積分し、漸化式 $E (Z^{n}) = (n - 1) E (Z^{n - 2})$ を使う（境界の項 $z^{n - 1} e^{- z^{2} /2}$ は $z \to \pm \infty$ で 0）。
漸化式を $E (Z^{0}) = 1$ まで繰り返す: $E (Z^{2 k}) = (2 k - 1) (2 k - 3) \dots 3 \cdot 1 = \frac{( 2 k )!}{2 ^{k} k !}$ 。
$X \sim N (m, σ^{2})$ の中心まわりの積率が必要なら、 $X - m = σ Z$ より $E ((X - m)^{n}) = σ^{n} E (Z^{n})$ とする。

例題

確率変数 $Z$ が標準正規分布 $N (0, 1)$ に従うとき、 $E (Z^{6})$ を求めよ。

例題の解答

手順1: $z = 2 t$ と置換すると $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- z^{2} /2} d z = 2 \cdot π = 2 π$ なので、 $E (Z^{0}) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- z^{2} /2} d z = 1$ です。

手順2: $E (Z^{6}) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} z^{6} e^{- z^{2} /2} d z$ で、 $6$ は偶数なので 0 にはなりません。

手順3: $z^{6} e^{- z^{2} /2} = z^{5} \cdot z e^{- z^{2} /2}$ と分けて部分積分します。境界の項 $[- z^{5} e^{- z^{2} /2}]$ は $z \to \pm \infty$ で 0 なので、 $E (Z^{6}) = 5 E (Z^{4})$ です。同じようにして $E (Z^{4}) = 3 E (Z^{2})$ 、 $E (Z^{2}) = 1 \cdot E (Z^{0})$ も成り立ちます。

手順4: これらをまとめると $E (Z^{6}) = 5 \cdot 3 \cdot 1 \cdot E (Z^{0}) = 15$ です。公式 $\frac{( 2 k )!}{2 ^{k} k !}$ に $k = 3$ を代入しても $\frac{720}{8 \cdot 6} = 15$ となり、一致します。

答え: $15$

よくある誤り

密度の定数を $\frac{1}{π}$ としてしまう誤り。ガウス積分 $π$ は $e^{- z^{2}}$ の積分の値です。 $e^{- z^{2} /2}$ の積分は $z = 2 t$ と置換して $2 π$ になるので、正しい定数は $\frac{1}{2 π}$ です。
$E (Z^{4}) = {E (Z^{2})}^{2} = 1$ としてしまう誤り。一般に $E (Z^{4})$ と ${E (Z^{2})}^{2}$ は等しくありません。正しくは漸化式から $E (Z^{4}) = 3 E (Z^{2}) = 3$ です。
$E (Z^{2 k}) = (2 k - 1)!$ のように、すべての数を掛けてしまう誤り。漸化式は 2 ずつ下がるので、正しくは $E (Z^{2 k}) = (2 k - 1) (2 k - 3) \dots 1 = \frac{( 2 k )!}{2 ^{k} k !}$ です（例: $E (Z^{6}) = 15$ であり、 $5! = 120$ ではありません）。
$X \sim N (m, σ^{2})$ のとき $E ((X - m)^{4}) = 3 σ^{2}$ や $E (X^{3}) = 0$ としてしまう誤り。正しくは $X - m = σ Z$ から $E ((X - m)^{4}) = σ^{4} E (Z^{4}) = 3 σ^{4}$ です。また、奇数次の積率が 0 になるのは中心 $m$ のまわりの積率 $E ((X - m)^{3}) = 0$ であり、 $m \neq = 0$ なら $E (X^{3}) = m^{3} + 3 m σ^{2} \neq = 0$ となることもあります。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

中心極限定理の使い方（大学数学確率・統計）
検定の有意水準と検出力（大学数学数理統計）
対数正規分布の期待値（大学数学数理ファイナンス・保険数学）