対数正規分布の期待値

$Z \sim N (0, 1)$ について $E [e^{a Z}] = e^{a^{2} /2}$ と $E [e^{a Z} 1_{Z > c}] = e^{a^{2} /2} N (a - c)$ を導き、 $S_{T} = S_{0} e^{(r - σ^{2} /2) T + σ W_{T}}$ の関数の期待値を求められる

前提

正規分布の密度と積率（大学数学確率・統計）

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算数中学高校大学大学院

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広義積分（大学数学微分積分）
ガウス積分（大学数学微分積分）
正規分布の密度と積率（大学数学確率・統計）

説明

標準正規分布に従う $Z$ について、 $e^{a Z}$ の期待値と、それを「 $Z > c$ のときだけ数える」期待値を計算できるようになります。 $e^{(正規分布)}$ の形の確率変数は対数正規分布に従うといい、株価モデル $S_{T} = S_{0} e^{(r - σ^{2} /2) T + σ W_{T}}$ はその代表例です。 $S_{T}$ の期待値や $S_{T}^{2}$ の期待値、さらに「 $S_{T}$ がある値を超えたときだけ支払われる額」の期待値などを、正規分布表の関数で書き表せるようになります。

なぜそうしてよいのか

$φ (z) = \frac{1}{2 π} e^{- z^{2} /2}$ を標準正規分布の密度とし、 $N (x) = \int_{- \infty}^{x} φ (t) d t = P (Z \leq x)$ とおきます。 $E [e^{a Z}] = \int_{- \infty}^{\infty} e^{a z} φ (z) d z$ の被積分関数の指数部分を平方完成すると $a z - \frac{z ^{2}}{2} = - \frac{( z - a ) ^{2}}{2} + \frac{a ^{2}}{2}$ となります。よって $e^{a z} φ (z) = e^{a^{2} /2} φ (z - a)$ で、 $e^{a^{2} /2}$ は $z$ によらない定数として外に出せます。残る $\int_{- \infty}^{\infty} φ (z - a) d z$ は $u = z - a$ と置換すれば密度の全積分なので 1 です。したがって $E [e^{a Z}] = e^{a^{2} /2}$ です（指数部分は $- z^{2} /2$ が支配するので広義積分は収束します）。

$Z > c$ のときだけ数える期待値 $E [e^{a Z} 1_{Z > c}]$ （ $1_{Z > c}$ は $Z > c$ のとき 1、そうでないとき 0 をとる確率変数）も同じ平方完成で計算できます。 $\int_{c}^{\infty} e^{a^{2} /2} φ (z - a) d z$ で $u = z - a$ と置換すると $e^{a^{2} /2} \int_{c - a}^{\infty} φ (u) d u = e^{a^{2} /2} P (Z > c - a)$ となります。 $φ$ は偶関数なので $P (Z > c - a) = P (Z < a - c) = N (a - c)$ が成り立ち、 $E [e^{a Z} 1_{Z > c}] = e^{a^{2} /2} N (a - c)$ が得られます。直観的には、重み $e^{a z}$ を掛けると正規分布の山が右に $a$ だけずれ、そのずれた山のうち $c$ より右の部分の確率を数えていることになります。

$T > 0$ のとき $W_{T} \sim N (0, T)$ なので、 $W_{T}$ は $T Z$ と同じ分布をもちます。そのため $S_{T}$ の関数を $e^{(定数) + a Z}$ の形に直せば、上の 2 つの公式がそのまま使えます。たとえば $E [S_{T}] = S_{0} e^{(r - σ^{2} /2) T} e^{σ^{2} T /2} = S_{0} e^{r T}$ です。

手順

$W_{T} = T Z$ （ $Z \sim N (0, 1)$ ）と書き換え、求めたい量を $e^{α + a Z}$ の形に整理する。 $α$ は定数で $e^{α}$ は期待値の外に出せる。例: $S_{T}^{p} = S_{0}^{p} e^{p (r - σ^{2} /2) T + p σ T Z}$
事象つき（例: $S_{T} > K$ ）のときは、それを $Z > c$ の形に直す。 $σ > 0$ なら $S_{T} > K ⟺ Z > c = \frac{lo g ( K / S _{0} ) - ( r - σ ^{2} /2 ) T}{σ T}$
公式を当てはめる: $E [e^{a Z}] = e^{a^{2} /2}$ 、 $E [e^{a Z} 1_{Z > c}] = e^{a^{2} /2} N (a - c)$
指数部分 $α + \frac{a ^{2}}{2}$ をまとめて簡単にする。

例題

$S_{T} = S_{0} e^{(r - σ^{2} /2) T + σ W_{T}}$ （ $W_{T} \sim N (0, T)$ ）で $S_{0} = 10$ , $r = 0.03$ , $σ = 0.2$ , $T = 2$ とする。 $E [S_{T}^{2}]$ を求めよ。

例題の解答

手順1: $W_{T} = T Z$ とおくと $S_{T}^{2} = S_{0}^{2} e^{2 (r - σ^{2} /2) T + 2 σ T Z}$ となる。数値を入れると $2 (r - σ^{2} /2) T = 2 (0.03 - 0.02) \cdot 2 = 0.04$ である。また $a = 2 σ T = 0.4 2$ である。よって $S_{T}^{2} = 100 e^{0.04} e^{a Z}$ 。
手順2: 事象の条件はないので、この手順は飛ばす。
手順3: $E [e^{a Z}] = e^{a^{2} /2}$ で、 $\frac{a ^{2}}{2} = \frac{0.16 \cdot 2}{2} = 0.16$ である。よって $E [S_{T}^{2}] = 100 e^{0.04} \cdot e^{0.16}$ 。
手順4: 指数をまとめると $0.04 + 0.16 = 0.2$ なので $E [S_{T}^{2}] = 100 e^{0.2} = 100 e^{1/5}$ 。一般には $E [S_{T}^{2}] = S_{0}^{2} e^{(2 r + σ^{2}) T}$ となる。

答え: $100 e^{\frac{1}{5}}$

よくある誤り

期待値を指数の中に入れて $E [e^{a Z}] = e^{E [a Z]} = e^{0} = 1$ としてしまう誤り。 $e^{x}$ は直線ではないので期待値と入れ替えられない。正しくは $E [e^{a Z}] = e^{a^{2} /2}$ 。
$W_{T}$ を標準正規分布と取り違えて $E [e^{σ W_{T}}] = e^{σ^{2} /2}$ としてしまう誤り。 $W_{T} = T Z$ なので $a = σ T$ であり、正しくは $E [e^{σ W_{T}}] = e^{σ^{2} T /2}$ 。
$N$ の中身の符号を逆にして $E [e^{a Z} 1_{Z > c}] = e^{a^{2} /2} N (c - a)$ としてしまう誤り。置換で得られるのは $P (Z > c - a)$ で、これは $1 - N (c - a) = N (a - c)$ に等しい。正しくは $e^{a^{2} /2} N (a - c)$ 。
期待値を 2 乗して $E [S_{T}^{2}] = (E [S_{T}])^{2} = S_{0}^{2} e^{2 r T}$ としてしまう誤り。 $S_{T}^{2}$ の指数の係数は $a = 2 σ T$ なので、正しくは $E [S_{T}^{2}] = S_{0}^{2} e^{(2 r + σ^{2}) T}$ 。両者の差 $S_{0}^{2} e^{2 r T} (e^{σ^{2} T} - 1)$ が $S_{T}$ の分散になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 4（大学院入試の標準レベル）
ブラック・ショールズ・モデルを考える。配当のない株式の時刻 $t$ における価格 $S_{t}$ は、リスク中立確率測度 $Q$ のもとで
$S_{t} = S_{0} exp ((r - \frac{σ ^{2}}{2}) t + σ W_{t}) (t \geq 0)$
に従う。ここで $W_{t}$ は $Q$ のもとでの標準ブラウン運動であり、 $S_{0} = 100$ 、安全利子率（連続複利）は $r = 0.05$ 、ボラティリティは $σ = 0.2$ である。
満期 $T = 1$ （年）に、 $S_{T} > K$ ならば $S_{T}^{2}$ 円、 $S_{T} \leq K$ ならば $0$ 円を受け取る派生証券がある。ここで $K = 100 e^{0.03}$ である。この派生証券の時刻 $0$ における無裁定価格 $V$ は、満期の受取額を $e^{- r T}$ で割り引いた $Q$ のもとでの期待値で与えられる。
標準正規分布の累積分布関数を $N (x)$ とし、 $N (0.4) = 0.6554$ 、 $e^{0.09} = 1.0942$ として、 $V$ を小数第 1 位を四捨五入して整数で求めよ。

この技能の次に学べること

ブラック・ショールズ式（大学数学数理ファイナンス・保険数学）