ブラック・ショールズ式

リスク中立期待値の割引として $C = S_{0} N (d_{1}) - K e^{- r T} N (d_{2})$ を使い、与えられた正規分布の値からコール・プット（プット・コール・パリティ $C - P = S_{0} - K e^{- r T}$ を含む）やデジタル型などの派生証券の価格を求められる

前提

対数正規分布の期待値（大学数学数理ファイナンス・保険数学）
1 期間二項モデルとリスク中立確率（大学数学数理ファイナンス・保険数学）

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算数中学高校大学大学院

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対数正規分布の期待値（大学数学数理ファイナンス・保険数学）
複利と現在価値（大学数学数理ファイナンス・保険数学）
1 期間二項モデルとリスク中立確率（大学数学数理ファイナンス・保険数学）

説明

ブラック・ショールズ式を使うと、株価が対数正規分布に従うモデルのもとで、ヨーロピアン・コール（満期に $S_{T}$ を $K$ で買う権利）の価格を $C = S_{0} N (d_{1}) - K e^{- r T} N (d_{2})$ で計算できます。プットはプット・コール・パリティ $C - P = S_{0} - K e^{- r T}$ から求められます。満期に条件を満たせば一定額がもらえるデジタル型など、ほかの派生証券の価格も同じ考え方で求まります。オプションの理論価格を求めるときや、市場価格と比べるときに使います。

なぜそうしてよいのか

記号を決めます。 $S_{0}$ は現在の株価、 $K$ は行使価格、 $r$ は連続複利の年率の安全利子率、 $σ > 0$ は年率の変動率（ボラティリティ）、 $T > 0$ は満期までの年数です。 $N (x) = P (Z \leq x)$ （ $Z \sim N (0, 1)$ ）は標準正規分布の分布関数で、対称性から $N (- x) = 1 - N (x)$ が成り立ちます。1 期間二項モデルでは、株の期待収益率がちょうど安全利子率になる確率 $q$ （リスク中立確率）で満期の支払いの期待値をとり、それを割り引いたものが無裁定価格でした。連続時間でも同じで、リスク中立のもとでは $S_{T} = S_{0} e^{(r - σ^{2} /2) T + σ W_{T}}$ （ $W_{T} = T Z$ ）とおきます。このとき $E [S_{T}] = S_{0} e^{r T}$ となり、株の期待値が利子率どおりに増えます。そこで価格を $C = e^{- r T} E [(S_{T} - K)^{+}]$ と定めます。

この期待値を計算します。 $S_{T} > K$ を $Z$ で書き直すと $Z > c$ で、 $c = \frac{l o g ( K / S _{0} ) - ( r - σ ^{2} /2 ) T}{σ T}$ です。ここで $d_{2} = - c = \frac{l o g ( S _{0} / K ) + ( r - σ ^{2} /2 ) T}{σ T}$ 、 $d_{1} = d_{2} + σ T$ とおきます。すると $(S_{T} - K)^{+} = S_{T} 1_{Z > c} - K 1_{Z > c}$ と分けられます。前提の公式 $E [e^{a Z} 1_{Z > c}] = e^{a^{2} /2} N (a - c)$ に $a = σ T$ を代入すると、 $E [S_{T} 1_{Z > c}] = S_{0} e^{(r - σ^{2} /2) T} e^{σ^{2} T /2} N (σ T + d_{2}) = S_{0} e^{r T} N (d_{1})$ です。また $P (Z > c) = N (- c) = N (d_{2})$ です。これらを合わせて $e^{- r T}$ を掛けると $C = S_{0} N (d_{1}) - K e^{- r T} N (d_{2})$ が得られます。

同じ計算から次のこともわかります。満期に $S_{T} > K$ なら 1 がもらえるデジタル・コールの価格は $e^{- r T} N (d_{2})$ です。 $S_{T} > K$ なら株そのものがもらえる証券の価格は $S_{0} N (d_{1})$ です。さらに、 $(S_{T} - K)^{+} - (K - S_{T})^{+} = S_{T} - K$ がつねに成り立ちます。両辺の期待値を割り引き、 $e^{- r T} E [S_{T}] = S_{0}$ を使うとプット・コール・パリティ $C - P = S_{0} - K e^{- r T}$ が出ます。これを変形すると $P = K e^{- r T} N (- d_{2}) - S_{0} N (- d_{1})$ です。

手順

与えられた量 $S_{0}, K, r, σ, T$ を確認する。 $r, σ$ は年率の小数（5% なら $0.05$ ）、 $T$ は年単位、 $r$ は連続複利とする
$d_{1} = \frac{lo g ( S _{0} / K ) + ( r + σ ^{2} /2 ) T}{σ T}$ を計算し、 $d_{2} = d_{1} - σ T$ を求める
与えられた正規分布の値から $N (d_{1}), N (d_{2})$ を読む。負の値には $N (- x) = 1 - N (x)$ を使う
求めたい証券の式に代入する。コールは $C = S_{0} N (d_{1}) - K e^{- r T} N (d_{2})$ 、デジタル・コール（満期に 1）は $e^{- r T} N (d_{2})$
プットはパリティ $P = C - S_{0} + K e^{- r T}$ 、または $P = K e^{- r T} N (- d_{2}) - S_{0} N (- d_{1})$ で求める。両方で計算して一致を確かめるとよい

例題

株価 $S_{0} = 100$ 、行使価格 $K = 100$ 、安全利子率 $r = 0.05$ （連続複利・年率）、ボラティリティ $σ = 0.2$ 、満期 $T = 1$ 年のヨーロピアン・コールの価格を、ブラック・ショールズ式で求めよ。ただし $N (0.35) = 0.6368$ 、 $N (0.15) = 0.5596$ 、 $e^{- 0.05} = 0.9512$ を用い、小数第 3 位を四捨五入して小数第 2 位まで求めよ。

例題の解答

手順 1： $S_{0} = 100, K = 100, r = 0.05, σ = 0.2, T = 1$ で、単位はそろっている。
手順 2： $lo g (S_{0} / K) = lo g 1 = 0$ である。 $σ^{2} /2 = 0.02$ なので $d_{1} = \frac{0 + ( 0.05 + 0.02 ) \cdot 1}{0.2 \cdot 1} = 0.35$ 、 $d_{2} = 0.35 - 0.2 = 0.15$ となる。
手順 3：与えられた値から $N (d_{1}) = N (0.35) = 0.6368$ 、 $N (d_{2}) = N (0.15) = 0.5596$ である。
手順 4： $C = 100 \times 0.6368 - 100 \times 0.9512 \times 0.5596 = 63.68 - 53.2292 = 10.4508$ となる。小数第 3 位を四捨五入して $C \approx 10.45$ 。
（参考手順 5：パリティを使うとプットは $P = 10.45 - 100 + 95.12 = 5.57$ となる。）

答え: $10.45$

よくある誤り

$d_{2} = d_{1} - σ^{2} T$ や $d_{2} = d_{1} - σ$ としてしまう誤り。正しくは $d_{2} = d_{1} - σ T$ 。 $T = 1$ 以外のときに差が出る。
行使価格を割り引かずに $C = S_{0} N (d_{1}) - K N (d_{2})$ としてしまう誤り。正しくは $C = S_{0} N (d_{1}) - K e^{- r T} N (d_{2})$ 。パリティも $C - P = S_{0} - K e^{- r T}$ であり、 $S_{0} - K$ ではない。
デジタル・コール（満期に $S_{T} > K$ なら 1）の価格を $N (d_{2})$ や $e^{- r T} N (d_{1})$ としてしまう誤り。正しくは $e^{- r T} N (d_{2})$ 。 $N (d_{1})$ が現れるのは、株そのものがもらえる証券の価格 $S_{0} N (d_{1})$ のほう。
プットを $P = S_{0} N (d_{1}) - K e^{- r T} N (d_{2})$ の符号だけ変えて $- S_{0} N (d_{1}) + K e^{- r T} N (d_{2})$ としてしまう誤り。正しくは $P = K e^{- r T} N (- d_{2}) - S_{0} N (- d_{1})$ で、 $N (- x) = 1 - N (x)$ を使う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

ブラック・ショールズ式

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

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