数理ファイナンス・保険数学の問題

ブラック・ショールズ・モデルで、配当のない株式を原資産とするヨーロピアン・コール・オプションを考える。現在の株価は $S_0=200$ 円、権利行使価格は $K=200$ 円、満期までの期間は $T=1$ 年、安全資産の利子率は連続複利で年率 $r=0.05$、ボラティリティ（年率）は $\sigma =0.2$ とする。コールの価格は
$$C=S_{0}N(d_1)-K{e}^{-rT}N(d_2),d_1=\frac{\log \frac{S_0}{K}+\left(r+\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}},d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$$
で与えられる。ここで $N(x)$ は標準正規分布の累積分布関数である。計算には $N(0.35)=0.6368$、$N(0.15)=0.5596$、$e^{-0.05}=0.9512$ を用いよ。このコール・オプションの価格 $C$（円）を、小数第 2 位を四捨五入して小数第 1 位まで求めよ。

配当のない株式を原資産とするヨーロピアン・プット・オプションを考える。現在の株価は $S_0=100$、権利行使価格は $K=100$、満期までの期間は $T=1$（年）、安全資産の連続複利の利子率は年 $r=0.02$、株価のボラティリティは年 $\sigma =0.2$ である。

ブラック・ショールズ・モデルが成り立つとき、ヨーロピアン・プット・オプションの現在の価格は
$$P=K{e}^{-rT}N(-d_2)-S_{0}N(-d_1),d_1=\frac{\log (S_0/K)+\left(r+\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}},d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$$
で与えられる。ここで $N(x)$ は標準正規分布の累積分布関数である。

必要なら $N(0)=0.5$、$N(0.2)=0.5793$ を用いて、このプット・オプションの価格 $P$ を求めよ。答えは $e$ を含む形のままでよい。

1 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=80$ であり、時刻 $1$ の株価は $S_1=100$ または $S_1=60$ のどちらかになる（どちらも正の確率で起こる）。安全資産の 1 期間の利子率は $r=0.05$ である。この株式を原資産とし、満期が時刻 $1$、行使価格が $K=90$ のヨーロピアン・プット・オプション（満期の支払いが $\max (K-S_1,0)$）の、無裁定条件のもとでの時刻 $0$ の価格を求めよ。

ブラック・ショールズ・モデルを考える。配当のない株式の現在の株価は $S_0=100$ 円、ボラティリティ（年率）は $\sigma =0.2$、安全資産の利子率は連続複利で年率 $r=0.04$（一定）とする。リスク中立確率のもとで、満期 $T$ の株価は
$$S_T=S_0\exp \left(\left(r-\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T+\sigma \sqrt{T}Z\right),Z\sim N(0,1)$$
と表される。

満期 $T=1$（年）に、株価 $S_T$ が権利行使価格 $K=100$ 円を上回れば $100$ 円を受け取り、そうでなければ何も受け取らないデジタル・コール（キャッシュ・オア・ナッシング型）の現在の価格を求めよ。ただし、標準正規分布の分布関数を $N(x)$ とし、$N(0.1)=0.5398$ を用いてよい。答えは $e$ を含む式のままでよい。

1 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=50$ であり、時刻 $1$ には株価が $u=1.2$ 倍になるか $d=0.9$ 倍になるかのどちらかである（どちらも正の確率で起こる）。安全資産の 1 期間の利子率は $r=0.05$ とする。この株を原資産とし、満期が時刻 $1$、行使価格が $K=54$ のヨーロピアン・プット・オプション（時刻 $1$ での支払いが $\max (K-S_1,0)$ のもの）の時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。