数理ファイナンス・保険数学の問題

配当のない株式を原資産とするヨーロピアン・プット・オプションを考える。現在の株価は $S_0=100$、権利行使価格は $K=100$、満期までの期間は $T=1$（年）、安全資産の連続複利の利子率は年 $r=0.02$、株価のボラティリティは年 $\sigma =0.2$ である。

ブラック・ショールズ・モデルが成り立つとき、ヨーロピアン・プット・オプションの現在の価格は
$$P=K{e}^{-rT}N(-d_2)-S_{0}N(-d_1),d_1=\frac{\log (S_0/K)+\left(r+\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}},d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$$
で与えられる。ここで $N(x)$ は標準正規分布の累積分布関数である。

必要なら $N(0)=0.5$、$N(0.2)=0.5793$ を用いて、このプット・オプションの価格 $P$ を求めよ。答えは $e$ を含む形のままでよい。

ブラック・ショールズ・モデルを考える。配当のない株式の現在の株価は $S_0=100$ 円、ボラティリティ（年率）は $\sigma =0.2$、安全資産の利子率は連続複利で年率 $r=0.04$（一定）とする。リスク中立確率のもとで、満期 $T$ の株価は
$$S_T=S_0\exp \left(\left(r-\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T+\sigma \sqrt{T}Z\right),Z\sim N(0,1)$$
と表される。

満期 $T=1$（年）に、株価 $S_T$ が権利行使価格 $K=100$ 円を上回れば $100$ 円を受け取り、そうでなければ何も受け取らないデジタル・コール（キャッシュ・オア・ナッシング型）の現在の価格を求めよ。ただし、標準正規分布の分布関数を $N(x)$ とし、$N(0.1)=0.5398$ を用いてよい。答えは $e$ を含む式のままでよい。

ブラック・ショールズ・モデルを考える。配当のない株式の現在の株価は $S_0=100$ 円、ボラティリティ（年率）は $\sigma =0.4$ である。安全資産の利子率は連続複利で年率 $r=0.08$ であり、期間によらず一定とする。

この株式を原資産とする、行使価格 $K=100$ 円、満期 $T=0.25$ 年（$3$ か月）のヨーロピアン・プット・オプションの現在の価格（円）を、ブラック・ショールズ式を用いて求めよ。

ただし、$N(x)$ を標準正規分布の累積分布関数とし、計算には次の値を用いよ。
$$N(0.2)=0.5793,N(0)=0.5,e^{-0.02}=0.9802$$

ブラック・ショールズ・モデルを考える。配当のない株式の時刻 $t$ における価格 $S_t$ は、リスク中立確率測度 $Q$ のもとで
$$S_t=S_0\exp \left(\left(r-\frac{{\sigma }^2}{2}\right)t+\sigma W_t\right)(t\ge 0)$$
に従う。ここで $W_t$ は $Q$ のもとでの標準ブラウン運動であり、$S_0=100$、安全利子率（連続複利）は $r=0.05$、ボラティリティは $\sigma =0.2$ である。

満期 $T=1$（年）に、$S_T>K$ ならば $S_T^2$ 円、$S_T\le K$ ならば $0$ 円を受け取る派生証券がある。ここで $K=100e^{0.03}$ である。この派生証券の時刻 $0$ における無裁定価格 $V$ は、満期の受取額を $e^{-rT}$ で割り引いた $Q$ のもとでの期待値で与えられる。

標準正規分布の累積分布関数を $N(x)$ とし、$N(0.4)=0.6554$、$e^{0.09}=1.0942$ として、$V$ を小数第 1 位を四捨五入して整数で求めよ。

1 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=50$ であり、時刻 $1$ には株価が $u=1.2$ 倍になるか $d=0.9$ 倍になるかのどちらかである（どちらも正の確率で起こる）。安全資産の 1 期間の利子率は $r=0.05$ とする。この株を原資産とし、満期が時刻 $1$、行使価格が $K=54$ のヨーロピアン・プット・オプション（時刻 $1$ での支払いが $\max (K-S_1,0)$ のもの）の時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。