数理ファイナンス・保険数学

年利率 $i$（$i>0$）の $1$ 年ごとの複利が将来にわたって一定であるとする。この利率について
$$(1+i{)}^6=2$$
が成り立つことがわかっている。

いまから $18$ 年後にちょうど $800$ 万円が支払われる。この支払いの現時点での現価（現在価値）は何万円か。

年利率 $25\%$（$1$ 年ごとの複利）が将来にわたって一定であるとする。ちょうど $3$ 年後に受け取る $125$ 万円の、現時点での価値（現価）は何万円か。

年利率 $i$（$i>0$）の $1$ 年ごとの複利で預けると、元金が $8$ 年後にちょうど $3$ 倍になるとする。この年利率 $i$ の複利で割り引くとき、いまから $4$ 年後に支払われる $900$ 万円の現在価値（現価）は何万円か。根号を用いて答えよ。

確率変数 $Z$ が標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとする。すなわち、$Z$ の確率密度関数は
$$f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}(-\infty <z<\infty )$$
である。このとき、確率変数
$$Y=e^{1+3Z}$$
の期待値 $E[Y]$ を求めよ。

確率変数 $Z$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとする。このとき、期待値
$$E\left[{\left(e^Z-1\right)}^2\right]$$
を求めよ。

確率変数 $Z$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとする。確率変数 $X$ を
$$X=2e^{3Z-1}$$
で定めるとき、$X$ の期待値 $E[X]$ を求めよ。

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_x$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。
$$l_{65}=2000,l_{66}=1960,l_{67}=1910,l_{68}=1850,l_{69}=1780$$
$65$ 歳ちょうどの人について、$3$ 年後（$68$ 歳）まで生存する確率 ${}_3{p}_{65}$ と、$67$ 歳に達したあと $68$ 歳に達する前に死亡する確率 ${}_{2|}{q}_{65}$ を求め、$\left({}_3{p}_{65},{}_{2|}{q}_{65}\right)$ の組の形で答えよ。

2 つの危険資産 $D_1,D_2$ があり、1 期間の収益率をそれぞれ確率変数 $R_1,R_2$ とする。これらの期待値・標準偏差・相関係数は次のとおりである。
$$E[R_1]=0.06,E[R_2]=0.10,{\sigma }_1=0.2,{\sigma }_2=0.3,{\rho }_{12}=0.5$$
ここで ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ はそれぞれ $R_1,R_2$ の標準偏差、${\rho }_{12}$ は $R_1$ と $R_2$ の相関係数である。資金の $60\%$ を $D_1$ に、$40\%$ を $D_2$ に投資するポートフォリオの収益率を $R_P=0.6R_1+0.4R_2$ とする。$R_P$ の期待値 $E[R_P]$ と分散 $\mathrm{Var}(R_P)$ をこの順に組 $(E[R_P],\mathrm{Var}(R_P))$ で求めよ。

2 つの危険資産 $A,B$ があり、1 期間の収益率をそれぞれ確率変数 $R_A,R_B$ とする。これらについて
$$E(R_A)=0.06,E(R_B)=0.10,$$
$$\text{標準偏差 }{\sigma }_A=0.2,{\sigma }_B=0.3,R_A\text{ と }{R}_B\text{ の相関係数 }\rho =0.5$$
がわかっている。資金の $60\%$ を資産 $A$ に、$40\%$ を資産 $B$ に投資するポートフォリオを作る。このポートフォリオの収益率は $R_P=0.6R_A+0.4R_B$ で表される。

ポートフォリオの期待収益率 $E(R_P)$ と分散 $\mathrm{Var}(R_P)$ を、この順に組 $\left(E(R_P),\mathrm{Var}(R_P)\right)$ で求めよ。

ある投資家が、2 つの危険資産 $A$, $B$ に合計 $1000$ 万円を投資する。資産 $A$ に $600$ 万円、資産 $B$ に $400$ 万円を投資し、空売りや借入れは行わない。1 期間の収益率をそれぞれ確率変数 $R_A$, $R_B$ とし、
$$E(R_A)=0.06,E(R_B)=0.14,$$
$${\sigma }_A=\sqrt{V(R_A)}=0.1,{\sigma }_B=\sqrt{V(R_B)}=0.2,{\rho }_{AB}=0.5$$
とする。ここで ${\rho }_{AB}$ は $R_A$ と $R_B$ の相関係数である。このポートフォリオの収益率を $R_P$ とするとき、期待収益率 $E(R_P)$ と分散 $V(R_P)$ をこの順に組で求めよ。

$820$ 万円を年利率 $5\%$（$1$ 年ごとの複利）で借り入れ、元利均等返済で返す。返済は第 $1$ 年末と第 $2$ 年末の計 $2$ 回で、毎回同じ金額 $X$ 万円を支払う。第 $2$ 年末の返済で借入残高はちょうど $0$ になる。$X$ を求めよ。

$420$ 万円を年利率 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）で借り入れ、第 $1$ 年末と第 $2$ 年末の計 $2$ 回、毎回同じ金額 $X$ 万円を支払って返済する。第 $2$ 年末の支払いで借入残高はちょうど $0$ になる。$X$ の値を求めよ。

$82$ 万円を年利率 $5\%$（$1$ 年ごとの複利）で借り入れ、元利均等返済で返す。返済は第 $1$ 年末と第 $2$ 年末の計 $2$ 回で、毎回同じ金額 $R$ 万円を支払い、第 $2$ 年末の返済で借入残高はちょうど $0$ になる。$R$ の値を求めよ。

時刻 $t$（単位は年、$0\le t\le 10$）における利力が
$$\delta (t)=\frac{t}{500}$$
で与えられる市場を考える。時刻 $t$ に受け取る金額 $1$ の時刻 $0$ における現価は
$$v(t)=\exp \left(-{\int }_0^t\delta (s)ds\right)$$
である。時刻 $0$ から時刻 $10$ までの間、時刻 $t$ において年あたり $\rho (t)=t$ の割合で連続的に支払われる年金がある。この年金の時刻 $0$ における現価
$${\int }_0^{10}\rho (t)v(t)dt$$
を求めよ。

時刻 $t$（単位は年、$t\ge 0$）における利力が
$$\delta (t)=0.04+\frac{1}{1+t}$$
で与えられる市場を考える。時刻 $t$ に受け取る金額 $1$ の時刻 $0$ における現価は $v(t)=\exp \left(-{\int }_0^t\delta (s)ds\right)$ である。

いま、時刻 $0$ から永久に、時刻 $t$ において年あたり $\rho (t)=1+t$（万円）の割合で連続的に支払われる年金がある。この永久年金の時刻 $0$ における現価
$${\int }_0^{\infty }\rho (t)v(t)dt$$
は何万円か。

利力（瞬間的な利率）が時刻によらず一定で $\delta (t)=0.08$（年あたり）である市場を考える。時刻 $t$（単位は年、$t\ge 0$）に受け取る金額 $1$ の時刻 $0$ における現価は
$$v(t)=\exp \left(-{\int }_0^t\delta (s)ds\right)$$
で与えられる。

いま、時刻 $0$ から永久に、時刻 $t$ において年あたり $\rho (t)=60e^{0.02t}$ の割合で連続的に支払われる年金（支払額が年 $2\%$ の割合で連続的に増えていく永久年金）がある。この年金の時刻 $0$ における現価
$${\int }_0^{\infty }\rho (t)v(t)dt$$
を求めよ。

1 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=50$ であり、時刻 $1$ の株価は $u=1.2$ 倍になるか $d=0.9$ 倍になるかのどちらかである（どちらも正の確率で起こる）。安全資産の 1 期間の利子率は $r=0.05$ である。この株を原資産とし、満期が時刻 $1$、行使価格が $K=50$ のヨーロピアン・プット・オプション（満期の受取額が $\max (K-S_1,0)$）の時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。

1 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=50$ であり、時刻 $1$ には株価が $u=1.2$ 倍になるか $d=0.9$ 倍になるかのどちらかである（どちらも正の確率で起こる）。安全資産の 1 期間の利子率は $r=0.05$ とする。この株を原資産とし、満期が時刻 $1$、行使価格が $K=54$ のヨーロピアン・プット・オプション（時刻 $1$ での支払いが $\max (K-S_1,0)$ のもの）の時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。

1 期間の二項モデルを考える。

• 時刻 $0$ の株価は $S_0=50$ である。
• 時刻 $1$ の株価は $u=1.2$ 倍の $60$ か、$d=0.8$ 倍の $40$ のどちらかになる（どちらも正の確率で起こる）。
• 安全資産の 1 期間の利子率は $r=0.05$ である。

満期が時刻 $1$、行使価格が $K=52$ のヨーロピアン・プットオプションを考える。このオプションの時刻 $1$ での支払いは $\max (K-S_1,0)$ である。

市場に裁定機会がないとき、このプットオプションの時刻 $0$ での価格を求めよ。

2 つの危険資産 $A,B$ があり、1 期間の収益率をそれぞれ確率変数 $R_A,R_B$ とする。これらの分散・共分散は次のとおりである。
$$\mathrm{Var}(R_A)=0.05,\mathrm{Var}(R_B)=0.02,\mathrm{Cov}(R_A,R_B)=0.01$$
資産 $A,B$ への投資比率をそれぞれ実数 $w_A,w_B$（$w_A+w_B=1$、空売りも許す）とし、ポートフォリオの収益率を $R_P=w_A{R}_A+w_B{R}_B$ とする。$\mathrm{Var}(R_P)$ を最小にする比率 $w_A,w_B$ を、この順に組 $(w_A,w_B)$ で求めよ。

2 つの危険資産 $A$, $B$ があり、1 期間の収益率をそれぞれ確率変数 $R_1,R_2$ とする。これらの分散・共分散は次のとおりである。
$$\mathrm{Var}(R_1)=0.04,\mathrm{Var}(R_2)=0.16,\mathrm{Cov}(R_1,R_2)=0.02$$
資金のうち比率 $w_1$ を $A$ に、比率 $w_2$ を $B$ に投資するポートフォリオを考え、その収益率を $R_P=w_1{R}_1+w_2{R}_2$ とする。ただし $w_1,w_2$ は $w_1+w_2=1$ を満たす実数とする（空売りも許す）。$\mathrm{Var}(R_P)$ を最小にする比率 $w_1,w_2$ を求め、組 $(w_1,w_2)$ の形で答えよ。

2 つの危険資産 $X$, $Y$ があり、1 期間の収益率をそれぞれ確率変数 $R_1$, $R_2$ とする。これらの分散と共分散は次のとおりである。
$$\mathrm{Var}(R_1)=0.04,\mathrm{Var}(R_2)=0.09,\mathrm{Cov}(R_1,R_2)=0.02$$
資金を比率 $w_1$, $w_2$（$w_1+w_2=1$, $w_1,w_2$ は実数で空売りも許す）で $X$, $Y$ に配分したポートフォリオの収益率を $R_P=w_1{R}_1+w_2{R}_2$ とする。$\mathrm{Var}(R_P)$ を最小にする比率 $w_1$, $w_2$ を、ラグランジュの未定乗数法を用いて求め、組 $(w_1,w_2)$ の形で答えよ。

額面 $100$ 円、残存期間 $2$ 年、クーポンレート年 $10\%$ の固定利付債券がある。クーポンは年 $1$ 回、各年末に $10$ 円支払われる。$2$ 年後の満期日には、最後のクーポン $10$ 円と額面 $100$ 円が支払われる。この債券の現在の価格は $110$ 円である。

年 $1$ 回複利の最終利回りを $y$（$y>-1$）とする。$y$ は、将来受け取るすべての支払いの現価の合計が価格に等しくなるように定める。$y$ の値を求めよ。

額面 $100$ 円、残存期間 $2$ 年、クーポンレート年 $4\%$ の固定利付債券がある。クーポンは年 $1$ 回、各年末に $4$ 円支払われる。$2$ 年後の満期日には、最後のクーポン $4$ 円と額面 $100$ 円が支払われる。この債券の現在の価格は $96$ 円である。

年 $1$ 回複利の最終利回りを $y$（$y>0$ の実数）とする。$y$ は、価格が将来の支払いの現在価値の合計に等しいという関係
$$96=\frac{4}{1+y}+\frac{104}{(1+y{)}^2}$$
を満たす。$y$ を求めよ（根号を含む形で答えよ）。

額面 $100$ 円、残存期間 $2$ 年の固定利付債券がある。クーポンは年 $1$ 回、各年末に $10$ 円支払われ、$2$ 年後の満期日には最後のクーポン $10$ 円と額面 $100$ 円が支払われる。この債券の現在の価格は $98.1$ 円である。年 $1$ 回複利の最終利回りを $y$（$y>-1$）とするとき、$y$ の値を分数で求めよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=40$ である。各期に株価は $u=\frac{3}{2}$ 倍になるか $d=\frac{1}{2}$ 倍になるかのどちらかであり、どちらも正の確率で起こる。安全資産の 1 期間あたりの利子率は $r=\frac{1}{4}$ である。市場には裁定機会がなく、取引費用や配当はないものとする。満期が時刻 $2$、行使価格が $K=40$ のヨーロピアン・プット・オプション（満期の受け取り額が $\max (K-S_2,0)$）の時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=100$ である。各期に株価は $u=\frac{11}{10}$ 倍になるか $d=\frac{9}{10}$ 倍になるかのどちらかであり、どちらも正の確率で起こる。安全資産の 1 期間あたりの利子率は $r=\frac{1}{20}$ である。市場に裁定機会はなく、株式には配当がないものとする。

満期が時刻 $2$、行使価格が $K=100$ のヨーロピアン・プット・オプション（満期の株価を $S_2$ とすると、満期に $\max (K-S_2,0)$ を受け取れる権利）の時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=64$ である。各期に株価は $u=\frac{5}{4}$ 倍になるか $d=\frac{3}{4}$ 倍になるかのどちらかであり、どちらも正の確率で起こる。安全資産の 1 期間あたりの利子率は $r=\frac{1}{8}$ である。満期を時刻 $2$、行使価格を $K=72$ とするヨーロピアン・プット・オプション（満期の支払いは $\max (K-S_2,0)$）の時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。

ブラック・ショールズ・モデルで、配当のない株式を原資産とするヨーロピアン・コール・オプションを考える。現在の株価は $S_0=200$ 円、権利行使価格は $K=200$ 円、満期までの期間は $T=1$ 年、安全資産の利子率は連続複利で年率 $r=0.05$、ボラティリティ（年率）は $\sigma =0.2$ とする。コールの価格は
$$C=S_{0}N(d_1)-K{e}^{-rT}N(d_2),d_1=\frac{\log \frac{S_0}{K}+\left(r+\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}},d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$$
で与えられる。ここで $N(x)$ は標準正規分布の累積分布関数である。計算には $N(0.35)=0.6368$、$N(0.15)=0.5596$、$e^{-0.05}=0.9512$ を用いよ。このコール・オプションの価格 $C$（円）を、小数第 2 位を四捨五入して小数第 1 位まで求めよ。

ブラック・ショールズ・モデルを考える。配当のない株式の現在の株価は $S_0=100$ 円、ボラティリティ（年率）は $\sigma =0.2$、安全資産の利子率は連続複利で年率 $r=0.04$（一定）とする。リスク中立確率のもとで、満期 $T$ の株価は
$$S_T=S_0\exp \left(\left(r-\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T+\sigma \sqrt{T}Z\right),Z\sim N(0,1)$$
と表される。

満期 $T=1$（年）に、株価 $S_T$ が権利行使価格 $K=100$ 円を上回れば $100$ 円を受け取り、そうでなければ何も受け取らないデジタル・コール（キャッシュ・オア・ナッシング型）の現在の価格を求めよ。ただし、標準正規分布の分布関数を $N(x)$ とし、$N(0.1)=0.5398$ を用いてよい。答えは $e$ を含む式のままでよい。

ある人の生死について、次のモデルを考える。この人は、各年度の初めに生存していれば、その 1 年間を確率 $0.9$ で生き延び、確率 $0.1$ で死亡する。この確率は年齢によらず一定で、各年度の生死は独立に決まるものとする。

この人が現在（時刻 $0$）生存しており、次の終身保険に加入する。
- 死亡した年度の末に、保険金 $54$ 万円が支払われる。
- 保険料は、生存している限り毎年度の初め（時刻 $0,1,2,\dots$）に $P$ 万円ずつ支払う（終身払い）。

年利率 $i=0.08$ の複利で割り引くとき、収支相等の原則（保険金の期待現価と保険料の期待現価が等しい）から、年払純保険料 $P$（万円）を求めよ。

ある集団では、年齢によらず、生存している人がその後 $1$ 年間に死亡する確率はつねに $0.02$ であるとする。したがって、ある年齢 $x$ 歳ちょうどの人について、$t$ を $0$ 以上の整数として
$${}_t{p}_x=0.98^t,{}_{t|}{q}_x=0.98^t\times 0.02$$
である。

$x$ 歳ちょうどの人が次の終身保険に加入する。
- 死亡した年度の末に保険金 $1050000$ 円を支払う。
- 保険料は、加入時から毎年度の初めに、生存している限り同額 $P$ 円を払い込む。

年利率 $i=0.05$ の複利で計算し、$v=\frac{1}{1+i}$ とする。収支相等の原則（保険金の期待現価と保険料の期待現価が等しい）により、年払純保険料 $P$（円）を求めよ。

ある人は、現在の年齢にかかわらず、毎年「1 年間生存する確率」が $0.96$、「1 年以内に死亡する確率」が $0.04$ であるとする（各年の生死は前の年の結果だけで決まり、生存していれば次の 1 年も同じ確率にしたがう）。年利率 $i=0.04$ の複利で考え、$v=\frac{1}{1+i}$ とする。

この人が次の終身保険に加入する。
- 死亡したとき、死亡した年度の末に保険金 $2600000$ 円が支払われる。
- 保険料は、生存している限り毎年度の始めに同じ額 $P$ 円を払い込む（加入時に第 1 回を払い込む）。

収支相等の原則（払い込む保険料の期待現価と、支払われる保険金の期待現価が等しい）により、年払純保険料 $P$ を求めよ。単位は円とする。

ある金融商品は、$1$ 年後の年末と $2$ 年後の年末にそれぞれ $121$ 万円を支払い、それ以外の支払いはない（$2$ 年確定の期末払い年金）。年 $1$ 回複利の利回りを $y=0.1$（年 $10\%$）とし、この商品の価格 $P$ は支払いの現在価値の和 $P={\sum }_k\frac{C_k}{(1+y{)}^{t_k}}$ で与えられるとする。

この商品のマコーレー・デュレーション
$$D=\frac{1}{P}\sum _k{t}_k\frac{C_k}{(1+y{)}^{t_k}}$$
と修正デュレーション
$$D_{\mathrm{mod}}=-\frac{1}{P}\frac{dP}{dy}$$
を（単位は年）、$(D,D_{\mathrm{mod}})$ の順に既約分数で求めよ。

ある投資家が、次のキャッシュフローを受け取る貸付債権を保有している。

• $1$ 年後の年末に $110$ 万円
• $2$ 年後の年末に $242$ 万円
• $3$ 年後の年末に $133.1$ 万円

利回りは満期によらず年 $y=10\%$（$1$ 年ごとの複利）で一定とし、すべての割引はこの利回りで行う。この債権の修正デュレーション
$$D_{\mathrm{mod}}=-\frac{1}{P}\frac{dP}{dy}$$
を $y=0.1$ において求めよ（単位は年）。ここで $P$ はこの債権の現在価値である。

ある投資案件は、$1$ 年後の年末に $110$ 万円、$2$ 年後の年末に $121$ 万円を受け取るキャッシュフローをもつ（それ以外の受け取りはない）。利回りは年 $y=10\%$（$1$ 年ごとの複利）で、すべての割引はこの利回りで行う。このキャッシュフローの価格を $P$ とするとき、修正デュレーション
$$D_{\mathrm{mod}}=-\frac{1}{P}\frac{dP}{dy}$$
を $y=0.1$ において求めよ。答えは既約分数（単位は年）で答えよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=36$ である。各期に株価は $u=\frac{3}{2}$ 倍になるか $d=\frac{2}{3}$ 倍になるかのどちらかであり、どちらも正の確率で起こる。安全資産の 1 期あたりの利子率は $r=\frac{1}{6}$ とする。株は配当を支払わず、取引費用はないものとする。

行使価格 $K=40$、満期が時刻 $2$ のアメリカン・プット・オプションを考える。このオプションは時刻 $0,1,2$ のいずれかで 1 回だけ行使でき、時刻 $t$ に行使すると $\max (K-S_t,0)$ を受け取る。ここで $S_t$ は時刻 $t$ の株価である。このオプションの時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=60$ であり、各期に株価は $u=\frac{3}{2}$ 倍になるか $d=\frac{1}{2}$ 倍になるかのどちらかである（どちらも正の確率で起こる）。安全資産の 1 期あたりの利子率は $r=\frac{1}{5}$ とする。

行使価格 $K=60$、満期を時刻 $2$ とするアメリカン・プット・オプションを考える。このオプションは時刻 $0,1,2$ のいずれかで 1 回だけ行使でき、行使すると $K-S$ を受け取る（$S$ はその時点の株価）。このオプションの時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=80$ であり、各期に株価は $u=\frac{3}{2}$ 倍になるか $d=\frac{1}{2}$ 倍になるかのどちらかである（どちらも正の確率で起こる）。安全資産の 1 期あたりの利子率は $r=\frac{1}{4}$ である。取引費用や配当はなく、市場に裁定機会はないものとする。

行使価格 $K=80$、満期が時刻 $2$ のアメリカン・プット・オプションを考える。このオプションは時刻 $0,1,2$ のどの時点でも行使でき、株価 $S$ のときに行使すると $\max (K-S,0)$ を受け取る。このアメリカン・プットの時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。

ある保険会社は、$2$ 年後に $1,210,000$ 円、$4$ 年後に $1,464,100$ 円を支払う義務（負債）を負っている。市場の利回りは満期によらず年 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）で一定とし、すべての割引はこの利回りで行う。

会社は、$1$ 年後に満期を迎える割引債（ゼロクーポン債）と、$5$ 年後に満期を迎える割引債の $2$ 種類だけを購入して資産とする。資産の現在価値と負債の現在価値が等しく、さらに資産のマコーレー・デュレーションと負債のマコーレー・デュレーションが等しくなるようにしたい。

購入する $1$ 年満期の割引債の額面の合計 $X$ 円と、$5$ 年満期の割引債の額面の合計 $Y$ 円を求め、$(X,Y)$ の順に答えよ。

ある会社は次の $2$ 回の支払い義務（負債）を負っている。

• ちょうど $2$ 年後に $3,630,000$ 円
• ちょうど $4$ 年後に $4,392,300$ 円

市場の利回りは満期によらず年 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）で一定とし、すべての割引はこの利回りで行う。会社は、満期 $1$ 年の割引債（ちょうど $1$ 年後に額面を受け取る）と満期 $5$ 年の割引債（ちょうど $5$ 年後に額面を受け取る）だけを購入して資産とする。資産と負債の現在価値が等しく、かつ資産と負債のマコーレー・デュレーションが等しくなるようにしたい。このとき購入する満期 $1$ 年の割引債の額面の合計と、満期 $5$ 年の割引債の額面の合計（いずれも単位は円）を、この順に組で求めよ。

ある年金基金は、$2$ 年後に $1,210,000$ 円、$5$ 年後に $1,610,510$ 円を支払う義務（負債）を負っている。市場の利回りは満期によらず年 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）で一定とし、すべての割引はこの利回りで行う。

基金は、$1$ 年後に額面を受け取る割引債（ゼロクーポン債）と、$6$ 年後に額面を受け取る割引債の $2$ 種類だけを購入して資産とする。資産の現価が負債の現価に等しく、かつ資産のマコーレー・デュレーションが負債のマコーレー・デュレーションに等しくなるように購入するとき、$1$ 年満期の割引債の額面の合計と $6$ 年満期の割引債の額面の合計（いずれも円）をこの順に組で求めよ。

1 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=80$ であり、時刻 $1$ の株価は $S_1=100$ または $S_1=60$ のどちらかになる（どちらも正の確率で起こる）。安全資産の 1 期間の利子率は $r=0.05$ である。この株式を原資産とし、満期が時刻 $1$、行使価格が $K=90$ のヨーロピアン・プット・オプション（満期の支払いが $\max (K-S_1,0)$）の、無裁定条件のもとでの時刻 $0$ の価格を求めよ。

額面 $100$ 円、残存期間 $3$ 年、クーポンレート年 $10\%$（クーポンは年 $1$ 回、各年末に $10$ 円支払われ、$3$ 年後の満期日には最後のクーポン $10$ 円と額面 $100$ 円が支払われる）の固定利付債券がある。最終利回りは年 $10\%$（1 年複利）とする。

この債券の価格を $P$ とするとき、マコーレー・デュレーション
$$D=\frac{1}{P}\sum _{t=1}^{3}t\cdot \frac{C_t}{(1+y{)}^t}$$
を求めよ。ここで $C_t$ は $t$ 年後のキャッシュフロー、$y=0.1$ は最終利回りであり、$D$ の単位は年とする。

額面 $100$ 円、残存期間 $2$ 年、クーポンレート年 $5\%$ の固定利付債券がある。クーポンは年 $1$ 回、各年末に $5$ 円支払われ、$2$ 年後の満期日には最後のクーポン $5$ 円と額面 $100$ 円が支払われる。

この債券の最終利回り（1 年複利）が年 $5\%$ であるとき、この債券のマコーレー・デュレーション $D$（単位は年）を求めよ。ただし、時刻 $t_k$（年）のキャッシュフローを $C_k$、最終利回りを $y$、債券価格を $P={\sum }_k\frac{C_k}{(1+y{)}^{t_k}}$ として
$$D=\frac{1}{P}\sum _k{t}_k\frac{C_k}{(1+y{)}^{t_k}}$$
とする。答えは既約分数で答えよ。

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_x$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。
$$l_{40}=1000,l_{41}=990,l_{42}=972$$

$40$ 歳ちょうどの人が、次の保険期間 $2$ 年の定期保険に加入する。
- 加入後 $1$ 年以内に死亡した場合は $1$ 年目の年末に、$1$ 年後から $2$ 年後までの間に死亡した場合は $2$ 年目の年末に、保険金 $1000$ 万円が支払われる。$2$ 年後に生存していれば何も支払われない。
- 保険料は毎年同額 $P$ 万円で、加入時と $1$ 年後の年始に、そのときに生存していれば支払う（年始払い）。

予定利率を年 $5\%$（1 年複利）とし、死亡は上の生命表に従うものとする。収支相等の原則（保険料の期待現価と保険金の期待現価が等しい）によって定まる年払純保険料 $P$（万円）を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_x$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。
$$l_{50}=1000,l_{51}=980,l_{52}=950,l_{53}=900$$
この集団の死亡は生命表どおりに起こるものとする。すなわち、$50$ 歳ちょうどの人が時刻 $t$（年、加入時を $t=0$ とする）に生存している確率は $l_{50+t}/l_{50}$、時刻 $k-1$ から時刻 $k$ までの $1$ 年間（第 $k$ 年度）に死亡する確率は $(l_{49+k}-l_{50+k})/l_{50}$ である（$k=1,2,3$）。

$50$ 歳ちょうどの人が、次のような保険期間 $3$ 年の定期保険に加入する。

• 第 $k$ 年度（$k=1,2,3$）に死亡した場合、時刻 $k$ に保険金 $1000000$ 円が $1$ 回だけ支払われる。時刻 $3$ に生存していれば何も支払われない。
• 保険料は時刻 $t=0,1,2$ の $3$ 回、その時点で生存している場合に限り、同じ額 $P$ 円ずつ払い込まれる。

予定利率は年 $i=\frac{1}{19}$（1 年ごとの複利）とし、現価率は $v=\frac{1}{1+i}=0.95$ である。経費は考えない。収支相等の原則（保険料の期待現価と保険金の期待現価が等しい）によって純保険料 $P$ を定めるとき、$P$ を円未満を四捨五入して整数で求めよ。

年利率 $5\%$（1 年ごとの複利）が将来にわたって一定である市場を考える。ある基金は、いまから $2$ 年後、$4$ 年後、$6$ 年後、$\dots$ と、$2$ 年ごとに $10$ 万円ずつを永久に支払い続ける。この支払いの、現時点（時刻 $0$）における現在価値の総和を $X$ 万円とする。$X$ を既約分数で求めよ。

配当のない株式を原資産とするヨーロピアン・プット・オプションを考える。現在の株価は $S_0=100$、権利行使価格は $K=100$、満期までの期間は $T=1$（年）、安全資産の連続複利の利子率は年 $r=0.02$、株価のボラティリティは年 $\sigma =0.2$ である。

ブラック・ショールズ・モデルが成り立つとき、ヨーロピアン・プット・オプションの現在の価格は
$$P=K{e}^{-rT}N(-d_2)-S_{0}N(-d_1),d_1=\frac{\log (S_0/K)+\left(r+\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}},d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$$
で与えられる。ここで $N(x)$ は標準正規分布の累積分布関数である。

必要なら $N(0)=0.5$、$N(0.2)=0.5793$ を用いて、このプット・オプションの価格 $P$ を求めよ。答えは $e$ を含む形のままでよい。

年利率 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）が一定である口座に、毎年同じ金額 $X$ 万円を、第 $1$ 年初め（時刻 $0$）、第 $2$ 年初め（時刻 $1$）、第 $3$ 年初め（時刻 $2$）の計 $3$ 回積み立てる（時刻の単位は年）。途中で引き出しはしないものとする。

第 $3$ 年末（時刻 $3$）における口座の残高（元利合計）がちょうど $728.2$ 万円になるとき、$X$ を求めよ。

額面 $100$ 円、クーポンレート年 $5\%$、残存期間 $n$ 年（$n$ は正の整数）の固定利付債券を考える。クーポンは年 $1$ 回、各年末に $5$ 円支払われ、$n$ 年後の満期日には最後のクーポン $5$ 円と額面 $100$ 円が支払われる。この債券の最終利回りは年 $5\%$（$1$ 年ごとの複利）である。

この債券のマコーレー・デュレーション（各キャッシュフローの支払時点〔年〕を、その現在価値の価格に対する割合で重み付けした平均）$D_n$ を、$n$ の式で表せ。

$331$ 万円を年利率 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）で借り入れ、元利均等返済で返す。返済は第 $1$ 年末、第 $2$ 年末、第 $3$ 年末の計 $3$ 回で、毎回同じ金額を支払う。第 $3$ 年末の返済で借入残高はちょうど $0$ になる。

各回の返済額のうち、その時点までの $1$ 年間に借入残高について生じた利息にあたる部分を「利息分」、残りを「元本返済分」とよぶ。第 $2$ 年末の返済額に含まれる元本返済分は何万円か。

ただし、利率は返済期間中ずっと一定とし、手数料などは考えない。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=100$ である。各期に株価は $u=1.2$ 倍になるか $d=0.9$ 倍になるかのどちらかであり、どちらも正の確率で起こる。安全資産の 1 期間あたりの利子率は $r=0.05$（1 期間ごとの複利）で一定とする。株式に配当はなく、取引費用はかからず、裁定機会は存在しないものとする。

満期が時刻 $2$、権利行使価格が $K=100$ のヨーロピアン・ストラドル（満期にペイオフ $|S_2-K|$ を受け取る派生証券）の時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

ある保険会社は、ちょうど $5$ 年後に $3,630,000$ 円を支払う義務（負債）を負っている。市場の利回りは満期によらず年 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）で一定とし、すべての割引はこの利回りで行う。

会社はこの負債を免疫化（イミュニゼーション）するため、次の $2$ 種類の割引債（ゼロクーポン債）を購入する。

• 満期 $3$ 年、額面 $F_3$ 円の割引債
• 満期 $9$ 年、額面 $F_9$ 円の割引債

購入する資産について、次の $2$ つの条件を課す。

$(1)$ 資産の現在価値が負債の現在価値に等しい。

$(2)$ 資産全体のマコーレー・デュレーション（利回り $10\%$ で計算）が負債のマコーレー・デュレーションに等しい。

このとき、額面の組 $(F_3,F_9)$ をこの順に求めよ（単位は円）。

ブラック・ショールズ・モデルを考える。配当のない株式の現在の株価は $S_0=100$ 円、ボラティリティ（年率）は $\sigma =0.4$ である。安全資産の利子率は連続複利で年率 $r=0.08$ であり、期間によらず一定とする。

この株式を原資産とする、行使価格 $K=100$ 円、満期 $T=0.25$ 年（$3$ か月）のヨーロピアン・プット・オプションの現在の価格（円）を、ブラック・ショールズ式を用いて求めよ。

ただし、$N(x)$ を標準正規分布の累積分布関数とし、計算には次の値を用いよ。
$$N(0.2)=0.5793,N(0)=0.5,e^{-0.02}=0.9802$$

ある集団の生存者数 $l_x$（$x$ 歳ちょうどの生存者数）が、$0\le x\le 100$ の整数 $x$ について
$$l_x=100-x$$
で与えられているとする（$l_{100}=0$ であり、$100$ 歳を超えて生存する人はいない）。年利率 $i=0.25$（$1$ 年ごとの複利）が一定であるとする。

$96$ 歳ちょうどの人が次の終身保険に加入する。
- 死亡した場合、死亡した年度の末に保険金 $1000$ を支払う。
- 保険料は毎年度の初めに同じ額 $P$ を、被保険者が生存している限り支払う（第 $1$ 回は加入時）。

収支相等の原則（保険料の現価の期待値と保険金の現価の期待値が等しい）により定まる年払純保険料 $P$ を求めよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=100$ であり、各期に株価は確率 $p$（$0<p<1$）で $u=1.2$ 倍に、確率 $1-p$ で $d=0.9$ 倍になる。安全資産の 1 期あたりの利子率は $r=0.05$ で、1 期ごとに複利で $1+r$ 倍になる。配当はなく、取引費用はなく、市場に裁定機会はないものとする。

この株式を原資産とし、権利行使価格 $K=100$、満期を時刻 $2$ とするアメリカン・プット・オプション（時刻 $0,1,2$ のいずれかで権利行使でき、行使すると $K-S_t$ を受け取る）の時刻 $0$ における無裁定価格を求めよ。

1 年ごとの複利で、年利率 $i$（$i>0$）が一定の市場を考える。この利率で $100$ 万円を預けると、$10$ 年後にちょうど $200$ 万円になることがわかっている。

いま $100$ 万円を年利率 $i$（1 年複利）で借り、次のように返済して $20$ 年でちょうど完済する。
- 1 年後から 10 年後まで、毎年末に $X$ 万円ずつ返済する（計 10 回）
- 11 年後から 20 年後まで、毎年末に $2X$ 万円ずつ返済する（計 10 回）

$X$ の値を求めよ。

額面 $100$、残存期間 $3$ 年、クーポン（利札）が年 $1$ 回、各年末に $10$ 支払われる固定利付債がある。$3$ 年後の年末には最後のクーポン $10$ と額面 $100$ が支払われる。

年 1 回複利の最終利回りを $y$（$y>-1$）とするとき、この債券の価格を
$$P(y)=\frac{10}{1+y}+\frac{10}{(1+y{)}^2}+\frac{110}{(1+y{)}^3}$$
で定め、修正デュレーションを
$$D_{\mathrm{mod}}(y)=-\frac{1}{P(y)}\frac{dP}{dy}(y)$$
で定める。$y=0.1$ のときの修正デュレーション $D_{\mathrm{mod}}(0.1)$ を既約分数で求めよ。

3 つの危険資産 $A_1,A_2,A_3$ があり、1 期間の収益率をそれぞれ確率変数 $R_1,R_2,R_3$ とする。これらの分散・共分散は次のとおりである。
$$\mathrm{Var}(R_1)=0.04,\mathrm{Var}(R_2)=0.09,\mathrm{Var}(R_3)=0.06,$$
$$\mathrm{Cov}(R_1,R_2)=0.02,\mathrm{Cov}(R_1,R_3)=0,\mathrm{Cov}(R_2,R_3)=0.$$
資金を 3 資産に比率 $w_1,w_2,w_3$（実数、$w_1+w_2+w_3=1$）で配分したポートフォリオの収益率は $R_P=w_1{R}_1+w_2{R}_2+w_3{R}_3$ である。空売りは自由に行えるものとし（$w_i$ は負でもよい）、$\mathrm{Var}(R_P)$ を最小にする比率の組 $(w_1,w_2,w_3)$ をこの順に求めよ。

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_x$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。

$$l_{60}=1000,l_{61}=900,l_{62}=720,l_{63}=576$$

$60$ 歳ちょうどの人が、次の条件の $3$ 年満期の定期保険に加入する。

• 加入後 $3$ 年以内に死亡した場合、死亡した保険年度の末に保険金 $1000$ 万円が支払われる（$3$ 年後に生存していれば何も支払われない）。
• 保険料は毎年同じ額 $P$ 万円で、各保険年度の始めに、被保険者が生存していれば支払う（最大 $3$ 回）。

予定利率は年 $10\%$（1 年複利）で、死亡は生命表に従って起こるものとする。収支相等の原則（保険料の期待現価と保険金の期待現価が等しい）によって定まる年払い純保険料 $P$ を求めよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=100$ であり、各期に株価は $u=1.25$ 倍に上昇するか、$d=0.8$ 倍に下落するかのどちらかになる（どちらも正の確率で起こる）。安全資産の 1 期あたりの利子率は $r=0.05$（1 期ごとの複利）で一定とし、株式に配当はなく、取引費用はかからず、裁定機会はないものとする。

この株式を原資産とし、行使価格 $K=100$、満期を時刻 $2$ とするアメリカン・プット・オプションを考える。このオプションの保有者は、時刻 $0,1,2$ のいずれかの時点で 1 回だけ権利を行使でき、時刻 $t$ に行使すると $K-S_t$ と $0$ のうち大きい方、すなわち $\max (K-S_t,0)$ を受け取る（$S_t$ は時刻 $t$ の株価）。保有者は最適に行使するものとする。

リスク中立確率を用いて、このオプションの時刻 $0$ における価格を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=100$ であり、各期に株価は $u=1.25$ 倍になるか $d=0.8$ 倍になるかのどちらかである（どちらも正の確率で起こる）。安全資産の 1 期あたりの利子率は $r=0.05$（1 期ごとの複利）で一定とする。株式は配当を支払わず、取引費用はなく、空売りや任意の量の売買ができ、裁定機会はないものとする。

この株式を原資産とする、行使価格 $K=100$、満期が時刻 $2$ のアメリカン・プット・オプションがある。このオプションの保有者は、時刻 $0,1,2$ のいずれかで権利を行使でき、時刻 $t$ に行使すると $\max (K-S_t,0)$ を受け取る。

このアメリカン・プット・オプションの時刻 $0$ における価格を、既約分数で求めよ。

3 つの危険資産 $B_1,B_2,B_3$ があり、1 期間の収益率をそれぞれ確率変数 $R_1,R_2,R_3$ とする。これらの期待値と分散は
$$E[R_1]=0.05,E[R_2]=0.10,E[R_3]=0.15$$
$$\mathrm{Var}(R_1)=0.01,\mathrm{Var}(R_2)=0.04,\mathrm{Var}(R_3)=0.09$$
であり、$R_1,R_2,R_3$ は互いに無相関である（共分散はすべて $0$）。

資産 $B_i$ への投資比率を実数 $w_i$（$i=1,2,3$）とし、$w_1+w_2+w_3=1$ を満たすポートフォリオの収益率を $R_p=w_1{R}_1+w_2{R}_2+w_3{R}_3$ とする（空売りを許すので $w_i$ は負でもよい）。期待収益率が $E[R_p]=0.10$ となるポートフォリオのうちで、分散 $\mathrm{Var}(R_p)$ の最小値を求めよ。

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_x$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。
$$l_{50}=1000,l_{51}=980,l_{52}=950,l_{53}=900$$

$50$ 歳ちょうどの人が、保険期間 $3$ 年の生死混合保険（養老保険）に加入する。この保険は次のとおりである。

• 加入後 $3$ 年以内に死亡した場合は、死亡した年度の末に保険金 $1$ を支払う。
• $3$ 年後（$53$ 歳ちょうど）に生存していた場合は、その時点で満期保険金 $1$ を支払う。
• 保険料は、加入時・$1$ 年後・$2$ 年後の各時点で、その時点に生存していれば同額 $P$ を払い込む（年払い・全期払い）。

年利率は $i=0.1$（1 年複利）で一定とし、事業費は考えない。収支相等の原則（払い込む保険料の現価の期待値と、支払う保険金の現価の期待値が等しい）によって定まる年払い純保険料 $P$ を求めよ。

年利率 $i=0.1$（1 年複利）が永久に一定である市場を考える。次のように支払いが続く永久年金がある。

• $k=1,2,\dots ,10$ について、第 $k$ 年末に $k$ 万円を支払う（第 $1$ 年末に $1$ 万円、第 $2$ 年末に $2$ 万円、$\dots$、第 $10$ 年末に $10$ 万円）。
• 第 $11$ 年末以降は、毎年末に $10$ 万円ずつ永久に支払う。

この永久年金の現在（時刻 $0$）における現価を万円単位で求めよ。答えは累乗を含む形のままでよい。

正の整数 $\omega$ と、$0$ 以上の整数 $y$ に対して定まる生存数 $l_y$ をもつ生命表を考える。$l_y$ は $0\le y\le \omega -1$ で正、$y\ge \omega$ で $l_y=0$ であり、$l_0\ge l_1\ge \cdots \ge l_{\omega }$ を満たすとする。死亡数を $d_y=l_y-l_{y+1}$ と定める。予定利率を $i>0$ とし、$v=\frac{1}{1+i}$、$d=1-v$ とおく。

$0$ 以上の整数 $x$ と正の整数 $n$ を $x+n\le \omega$ を満たすようにとる。$x$ 歳の人が加入する保険期間 $n$ 年の養老保険（期間内に死亡すればその年度末に $1$ を支払い、$n$ 年後に生存していれば満期に $1$ を支払う）の一時払純保険料と、期始払い・期間 $n$ 年の生命年金（各年度の始めに生存していれば $1$ を支払う）の現価を、それぞれ
$$A=\frac{1}{l_x}\left(\sum _{k=0}^{n-1}{v}^{k+1}{d}_{x+k}+v^n{l}_{x+n}\right),\ddot{a}=\frac{1}{l_x}\sum _{k=0}^{n-1}{v}^k{l}_{x+k}$$
で定める。このとき
$$A=1-d\ddot{a}$$
が成り立つことを証明せよ。

$n$ を正の整数とし、時点 $k=0,1,\dots ,n$（年）に実数のキャッシュフロー $C_k$ が生じる投資を考える（$C_k<0$ は支出、$C_k>0$ は収入を表す）。年複利の利率 $i>-1$ に対する正味現在価値を
$$\mathrm{NPV}(i)=\sum _{k=0}^n\frac{C_k}{(1+i{)}^k}$$
とする。ある整数 $m$（$1\le m\le n$）があって、次の 4 条件が成り立つとする（支出がすべて収入より前に起こる投資）。
$$C_0<0,C_k\le 0(1\le k\le m-1),C_k\ge 0(m\le k\le n-1),C_n>0$$
ただし、$m=1$ のとき 2 番目の条件、$m=n$ のとき 3 番目の条件は対象となる $k$ がないので、条件を課さないものとする。このとき、方程式 $\mathrm{NPV}(i)=0$ を満たす $i\in (-1,\infty )$（内部収益率）はちょうど 1 つ存在し、さらにその $i$ が正であるための必要十分条件は $\sum _{k=0}^n{C}_k>0$ であることを証明せよ。

ただし、中間値の定理は用いてよい。

2 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=100$ である。各期に株価は $u=\frac{6}{5}$ 倍になるか $d=\frac{4}{5}$ 倍になるかのどちらかであり、どちらも正の確率で起こる。安全資産の 1 期あたりの利子率は $r=\frac{1}{20}$ で一定とし、株式に配当はなく、取引費用はかからないものとする。時刻 $t$ の株価を $S_t$（$t=0,1,2$）とする。

満期を時刻 $2$ とし、満期に
$$\max \left(\frac{S_1+S_2}{2}-90,0\right)$$
を支払うヨーロピアン型のアジアン・オプション（株価の平均に基づくコール・オプション）がある。無裁定の条件のもとで、このオプションの時刻 $0$ における価格を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_x$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。
$$l_{40}=1000,l_{41}=990,l_{42}=970,l_{43}=940$$
$40$ 歳ちょうどの人が、次の保険期間 $3$ 年の保険に加入する。

• 保険料は毎年同額の $P$ で、各保険年度の初め（加入時点、$1$ 年後、$2$ 年後）に、そのとき生存していれば払い込む。
• 保険期間中に死亡した場合は、死亡した保険年度の末に、保険金 $1000$ に加えて、それまでに払い込んだ保険料の合計額（利息は付けない）を支払う。
• $3$ 年後（$43$ 歳ちょうど）に生存していれば、満期保険金 $1000$ を支払う（このとき保険料の返還はない）。

年利率は $i=0.05$（$1$ 年ごとの複利）で一定とする。収支相等の原則（払い込む保険料の期待現価と、支払う給付の期待現価が等しい）により定まる年払純保険料 $P$ を、既約分数で求めよ。

3 つの危険資産 $S_1,S_2,S_3$ がある。1 期間の収益率をそれぞれ確率変数 $R_1,R_2,R_3$ とし、期待収益率ベクトル $\mathbf{\mu }$ と分散共分散行列 $\Sigma$ は次のとおりとする。
$$\mathbf{\mu }=\left(\begin{array}{c}0.04\\ 0.06\\ 0.10\end{array}\right),\Sigma =\frac{1}{100}\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$$
投資比率を $\mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3{)}^{\top }$（$w_1+w_2+w_3=1$、各 $w_i$ は実数で、負の値（空売り）も許す）とし、ポートフォリオの収益率を $R_p=w_1{R}_1+w_2{R}_2+w_3{R}_3$ とする。期待収益率が $E[R_p]=0.08$ となるポートフォリオの中で、分散 $\mathrm{Var}(R_p)$ の最小値を求めよ。

時刻 $t$（単位は年、$t\ge 0$）における利力（瞬間的な利率）が
$$\delta (t)=\frac{2}{20+t}$$
で与えられる市場を考える。すなわち、時刻 $t$ の金額 $1$ の時刻 $0$ における現価は $v(t)=\exp \left(-{\int }_0^t\delta (s)ds\right)$ である。

この市場で、$0\le t\le 20$ の間、時刻 $t$ において年あたり $t$ 万円の割合で連続的に支払われる年金（時刻 $t$ から $t+dt$ の間に $tdt$ 万円が支払われる）がある。この年金の時刻 $0$ における現価（万円）を求めよ。

3 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=64$ であり、各期に株価は $u=\frac{3}{2}$ 倍になるか $d=\frac{3}{4}$ 倍になるかのどちらかである（どちらも正の確率で起こる）。安全資産の 1 期あたりの利子率は $r=\frac{1}{8}$ で一定とし、株式は配当を支払わず、取引費用はなく、株式・安全資産は任意の量を売買（空売りを含む）できるものとする。

この株式を原資産とする、行使価格 $K=80$、満期が時刻 $3$ のアメリカン・プット・オプションを考える。このオプションの保有者は、時刻 $0,1,2,3$ のどれか $1$ つの時点で権利を行使でき、時刻 $n$ に行使すると $K-S_n$ を受け取る（$S_n$ は時刻 $n$ の株価。$K-S_n\le 0$ のときは行使しない）。裁定機会がないとき、このオプションの時刻 $0$ における価格を求めよ。

ブラック・ショールズ・モデルを考える。配当のない株式の時刻 $t$ における価格 $S_t$ は、リスク中立確率測度 $Q$ のもとで
$$S_t=S_0\exp \left(\left(r-\frac{{\sigma }^2}{2}\right)t+\sigma W_t\right)(t\ge 0)$$
に従う。ここで $W_t$ は $Q$ のもとでの標準ブラウン運動であり、$S_0=100$、安全利子率（連続複利）は $r=0.05$、ボラティリティは $\sigma =0.2$ である。

満期 $T=1$（年）に、$S_T>K$ ならば $S_T^2$ 円、$S_T\le K$ ならば $0$ 円を受け取る派生証券がある。ここで $K=100e^{0.03}$ である。この派生証券の時刻 $0$ における無裁定価格 $V$ は、満期の受取額を $e^{-rT}$ で割り引いた $Q$ のもとでの期待値で与えられる。

標準正規分布の累積分布関数を $N(x)$ とし、$N(0.4)=0.6554$、$e^{0.09}=1.0942$ として、$V$ を小数第 1 位を四捨五入して整数で求めよ。

利力（連続複利の利率）が満期によらず一定で $\delta =0.05$（年あたり）である市場を考える。すなわち、時刻 $t$（年）に受け取る金額 $1$ の時刻 $0$ における現在価値は $e^{-\delta t}$ である。

ある保険会社は、時刻 $10$ に $1000$ 万円を支払う負債を負っている。この会社は時刻 $0$ に次の 2 種類の資産を購入して負債を免疫化（イミュナイゼーション）したい。

• 資産 A: 時刻 $5$ に額面 $X$ 万円が支払われる割引債（クーポンなし）
• 資産 B: 時刻 $0$ から永久に、年あたり $C$ 万円の一定の速度で連続的に支払いが行われる永久債（時刻 $t$ から $t+dt$ の間に $Cdt$ 万円が支払われる）

資産全体の現在価値と負債の現在価値が等しく、かつ資産全体のマコーレー・デュレーションと負債のマコーレー・デュレーションが等しくなるように $X$ と $C$ を定める。ここで、時刻 $0$ における現在価値が $P>0$ のキャッシュフローのマコーレー・デュレーションとは、各支払いの時刻をその支払いの現在価値で重み付けた平均
$$D=\frac{1}{P}\left(\sum t\cdot (\text{時刻 }t\text{ の支払いの現在価値})\right)$$
（連続的な支払いでは和を積分に置き換える）である。組 $(X,C)$ をこの順に求めよ。

3 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=80$ であり、各期に株価は $u=1.5$ 倍になるか $d=0.5$ 倍になるかのどちらかである（どちらも正の確率で起こる）。安全資産の 1 期あたりの利子率は $r=0.1$ で一定とし、取引費用はなく、株式は配当を支払わないものとする。

この株式を原資産とし、権利行使価格 $K=80$、満期を時刻 $3$ とするアメリカン・プット・オプションを考える。このオプションの保有者は、時刻 $0,1,2,3$ のいずれか 1 つの時点で権利を行使し、その時点の株価 $S_t$ に対して $\max (K-S_t,0)$ を受け取ることができる。

裁定機会が存在しないとき、このオプションの時刻 $0$ における価格を求めよ。

$2$ つの危険資産 $C_1,C_2$ と安全資産がある。危険資産の $1$ 期間の収益率をそれぞれ確率変数 $R_1,R_2$ とし、
$$E[R_1]=0.08,E[R_2]=0.12,\mathrm{Var}(R_1)=0.04,\mathrm{Var}(R_2)=0.09,\mathrm{Cov}(R_1,R_2)=0.012$$
とする。安全資産の $1$ 期間の収益率は確定値 $r_f=0.04$ である。

危険資産だけからなるポートフォリオで、$C_1,C_2$ への投資比率を $w_1,w_2$（$w_1+w_2=1$、$w_1,w_2$ は実数で、空売りも許す）とし、その収益率を $R_p=w_1{R}_1+w_2{R}_2$ とする。$E[R_p]>r_f$ を満たすもののうち、シャープ比
$$\frac{E[R_p]-r_f}{\sqrt{\mathrm{Var}(R_p)}}$$
を最大にするポートフォリオ（接点ポートフォリオ）の投資比率 $w_1,w_2$ を、組 $(w_1,w_2)$ の形でこの順に求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、時刻 $0<t_1<t_2<\cdots <t_n$ にそれぞれ正の金額 $c_1,c_2,\dots ,c_n$ が支払われる債券を考える。連続複利の利回り $y\in \mathbb{R}$ に対して、この債券の価格を
$$P(y)=\sum _{k=1}^n{c}_k{e}^{-y{t}_k}$$
とし、マコーレー・デュレーションを
$$D(y)=\frac{1}{P(y)}\sum _{k=1}^n{t}_k{c}_k{e}^{-y{t}_k}$$
で定める。このとき、関数 $D:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ は $\mathbb{R}$ 上で狭義単調減少であり、その値域は開区間 $(t_1,t_n)$ に一致することを証明せよ。

ただし、微分可能な関数についての平均値の定理と中間値の定理は用いてよい。

$S>0$, $K>0$, $T>0$, $r\in \mathbb{R}$ を定数とする。標準正規分布の密度関数と分布関数を
$$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2},\Phi (x)={\int }_{-\infty }^x\phi (u)du$$
とし、ボラティリティ $\sigma >0$ に対するヨーロピアン・コール・オプションのブラック・ショールズ価格を
$$C(\sigma )=S\Phi (d_1)-K{e}^{-rT}\Phi (d_2),d_1=\frac{\log (S/K)+\left(r+\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}},d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$$
で定める。$L=\max \{S-K{e}^{-rT},0\}$ とおくとき、写像 $\sigma \mapsto C(\sigma )$ は区間 $(0,\infty )$ から開区間 $(L,S)$ への全単射であることを証明せよ（すなわち、$(L,S)$ に属する各価格 $c$ に対して $C(\sigma )=c$ となるインプライド・ボラティリティ $\sigma >0$ がちょうど 1 つ存在し、$C$ の値はすべて $(L,S)$ に属する）。

ただし、$\Phi$ は $\mathbb{R}$ 上で微分可能で ${\Phi }^{\prime }=\phi$ であること、$\underset{x\to -\infty }{\lim }\Phi (x)=0$, $\underset{x\to \infty }{\lim }\Phi (x)=1$, $\Phi (0)=\frac{1}{2}$ であること、および平均値の定理・中間値の定理は用いてよい。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$n$ 個の危険資産の収益率を並べた確率変数ベクトル $R=(R_1,\dots ,R_n{)}^{\top }$ の分散共分散行列 $\Sigma$（$n$ 次実対称行列）は正定値であるとする。$1=(1,\dots ,1{)}^{\top }\in {\mathbb{R}}^n$ とし、投資比率ベクトル全体の集合を
$$W=\{w\in {\mathbb{R}}^n\mid 1^{\top }w=1\}$$
とする（空売りを許すので、$w$ の成分は負でもよい）。$w\in W$ に対してポートフォリオの収益率を $R_w=w^{\top }R$ とすると、$u,w\in W$ に対して $\mathrm{Cov}(R_u,R_w)=u^{\top }\Sigma w$、$\mathrm{Var}(R_w)=w^{\top }\Sigma w$ である。

$c=1^{\top }{\Sigma }^{-1}1$、$w^{\ast }=\frac{1}{c}{\Sigma }^{-1}1$ とおく。このとき $c>0$ かつ $w^{\ast }\in W$ であり、さらに次の 2 つが成り立つことを証明せよ。

任意の $w\in W$ に対して $\mathrm{Cov}(R_w,R_{w^{\ast }})=\frac{1}{c}$ であり、かつ $\mathrm{Var}(R_w)\ge \frac{1}{c}$ で、等号が成り立つのは $w=w^{\ast }$ のときに限る。

ただし、正定値な実対称行列は正則であり、その逆行列も正定値な実対称行列であることは用いてよい。