この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

数理ファイナンス・保険数学の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学数理ファイナンス・保険数学

$820$ 万円を年利率 $5%$ （ $1$ 年ごとの複利）で借り入れ、元利均等返済で返す。返済は第 $1$ 年末と第 $2$ 年末の計 $2$ 回で、毎回同じ金額 $X$ 万円を支払う。第 $2$ 年末の返済で借入残高はちょうど $0$ になる。 $X$ を求めよ。

この問題で使うもの

年金現価とローン返済（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（20 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「年金現価とローン返済」の技能を使う。借入額と、返済額 $X$ の $2$ 回分の現価が等しいという式を立てる。

ヒント 2

$v = \frac{1}{1.05} = \frac{20}{21}$ とおくと、返済の現価は $X a_{2 ∣} = X \cdot \frac{1 - v ^{2}}{0.05}$ である。

ヒント 3

$a_{2 ∣} = \frac{1 - \frac{400}{441}}{0.05} = \frac{820}{441}$ なので、 $820 = X \cdot \frac{820}{441}$ を解けばよい。

答えと解説

答えを見る

441

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

方針借入額と返済の現価が等しいという式を立てる。

手順 1: 現価率 $v$ を求める。 年利率は $i = 0.05$ なので
$v = \frac{1}{1 + i} = \frac{1}{1.05} = \frac{20}{21}$
である。

手順 2: 年金現価 $a_{2 ∣}$ を求める。 期末払い年金の現価の公式 $a_{n ∣} = \frac{1 - v ^{n}}{i}$ に $n = 2$ を代入すると
$a_{2 ∣} = \frac{1 - v ^{2}}{i} = \frac{1 - \frac{400}{441}}{0.05} = \frac{41}{441} \times 20 = \frac{820}{441}$
となる。（確かめ: $v + v^{2} = \frac{20}{21} + \frac{400}{441} = \frac{420 + 400}{441} = \frac{820}{441}$ で一致する。）

手順 3: 借入額 = 返済の現価の式を立てる。 毎回 $X$ 万円を $2$ 回支払う返済の現価は $X a_{2 ∣}$ なので
$820 = X \cdot \frac{820}{441}$
よって $X = 441$ である。

検算第 $1$ 年末の残高は $820 \times 1.05 - 441 = 861 - 441 = 420$ 万円、第 $2$ 年末の残高は $420 \times 1.05 - 441 = 441 - 441 = 0$ 万円となり、条件を満たす。

答え: $X = 441$ （万円）

別解

年利率 $r = 0.05$ 、借入額 $820$ 万円、毎年末に $X$ 万円ずつ $2$ 回返済する。現在価値の式より
$820 = \frac{X}{1.05} + \frac{X}{1.0 5 ^{2}}$ 。
両辺に $1.0 5^{2} = 1.1025$ を掛けると $820 \times 1.1025 = X (1.05 + 1)$ 。
$820 \times 1.1025 = 904.05$ 、 $X = 904.05/2.05 = 441$ 。
検算：1年後の残高 $820 \times 1.05 = 861$ 、 $441$ を返して $420$ 。2年後 $420 \times 1.05 = 441$ 、これを返して $0$ 。よって $X = 441$ 。

数理ファイナンス・保険数学の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題