数理ファイナンス・保険数学の問題

方針 年利率 $i$ の複利では、元金 $1$ は $n$ 年後に $(1+i{)}^n$ になります。逆に、$n$ 年後の金額 $1$ の現在価値は $v^n=(1+i{)}^{-n}$ です。ここでは $4$ 年後の金額を割り引くので、$v^4=(1+i{)}^{-4}$ が必要です。

手順 1：条件を式にする 元金が $8$ 年後に $3$ 倍になるので
$$(1+i{)}^8=3$$
です。

手順 2：$(1+i{)}^4$ を求める $(1+i{)}^8={\left((1+i{)}^4\right)}^2$ です。$1+i>0$ より $(1+i{)}^4>0$ なので
$$(1+i{)}^4=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$$
となります。

手順 3：現価率 $v^4$ を求める
$$v^4=(1+i{)}^{-4}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
です。

手順 4：現在価値を計算する $4$ 年後の $900$ 万円の現在価値は
$$900v^4=\frac{900}{\sqrt{3}}=\frac{900\sqrt{3}}{3}=300\sqrt{3}(\text{万円})$$
です（約 $519.6$ 万円）。

確認 $300\sqrt{3}$ 万円を $4$ 年間預けると、$300\sqrt{3}\times (1+i{)}^4=300\sqrt{3}\times \sqrt{3}=900$ 万円になり、条件と合います。

よって、答えは $300\sqrt{3}$ 万円です。

複利で8年後に元金が3倍になるので $(1+i{)}^8=3$ である。$i>0$ より $1+i>0$ なので、$(1+i{)}^4=\sqrt{3}$ となる。
4年後に支払われる900万円の現在価値は $900/(1+i{)}^4=900/\sqrt{3}=900\sqrt{3}/3=300\sqrt{3}$ 万円である。
検算：$300\sqrt{3}\times (1+i{)}^4=300\sqrt{3}\times \sqrt{3}=900$ となり、条件と一致する。数値では約519.6万円である。