数理ファイナンス・保険数学の問題

方針：借入額（現時点の金額）と、返済額の現価の合計が等しいという式を立てます。

1. 現価率を求める

年利率 $i=0.1$ なので、現価率は
$$v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1.1}=\frac{10}{11}$$
です。

2. 期末払い年金の現価 $a_{\overline{2}|}$ を求める

毎年末に $1$ ずつ $2$ 回支払う期末払い年金の現価は、等比数列の和の公式から
$$a_{\overline{2}|}=v+v^2=\frac{1-v^2}{i}$$
です。$v^2=\frac{100}{121}$ を代入すると
$$a_{\overline{2}|}=\frac{1-\frac{100}{121}}{0.1}=\frac{21}{121}\times 10=\frac{210}{121}$$
となります。（確認：$v+v^2=\frac{110}{121}+\frac{100}{121}=\frac{210}{121}$ で一致します。）

3. 借入額と返済の現価が等しいという式を立てる

毎回 $X$ 万円を支払うので、返済額の現価の合計は $X{a}_{\overline{2}|}$ 万円です。借入残高がちょうど $0$ になるので、これが借入額 $420$ 万円に等しくなります。
$$420=X\cdot \frac{210}{121}$$

4. $X$ を求める
$$X=420\times \frac{121}{210}=2\times 121=242$$

検算：第 $1$ 年末の残高は $420\times 1.1-242=462-242=220$ 万円、第 $2$ 年末は $220\times 1.1-242=242-242=0$ 万円となり、条件を満たします。

よって $X=242$ です。

年利率 $10\%$ の複利なので、第 $1$ 年末の支払い前の残高は $420\times 1.1=462$ 万円。支払い後の残高は $462-X$。
第 $2$ 年末の支払い前の残高は $(462-X)\times 1.1$ で、これが $X$ に等しい。
$1.1(462-X)=X$ より $508.2=2.1X$。
よって $X=508.2/2.1=242$。

検算: $420\times 1.1=462$、$462-242=220$、$220\times 1.1=242$ となり、第 $2$ 年末の支払い $X=242$ と一致して残高は $0$ になる。
別の方法: 現在価値で $X/1.1+X/1.21=420$ より $X(1.1+1)/1.21=420$、$X=420\times 1.21/2.1=242$。

答え: $X=242$ 万円。