複利と現在価値

年利率 $i$（$i>0$）の $1$ 年ごとの複利が将来にわたって一定であるとする。この利率について
$$(1+i{)}^6=2$$
が成り立つことがわかっている。

いまから $18$ 年後にちょうど $800$ 万円が支払われる。この支払いの現時点での現価（現在価値）は何万円か。

年利率 $25\%$（$1$ 年ごとの複利）が将来にわたって一定であるとする。ちょうど $3$ 年後に受け取る $125$ 万円の、現時点での価値（現価）は何万円か。

年利率 $i$（$i>0$）の $1$ 年ごとの複利で預けると、元金が $8$ 年後にちょうど $3$ 倍になるとする。この年利率 $i$ の複利で割り引くとき、いまから $4$ 年後に支払われる $900$ 万円の現在価値（現価）は何万円か。根号を用いて答えよ。

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_x$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。
$$l_{40}=1000,l_{41}=990,l_{42}=972$$

$40$ 歳ちょうどの人が、次の保険期間 $2$ 年の定期保険に加入する。
- 加入後 $1$ 年以内に死亡した場合は $1$ 年目の年末に、$1$ 年後から $2$ 年後までの間に死亡した場合は $2$ 年目の年末に、保険金 $1000$ 万円が支払われる。$2$ 年後に生存していれば何も支払われない。
- 保険料は毎年同額 $P$ 万円で、加入時と $1$ 年後の年始に、そのときに生存していれば支払う（年始払い）。

予定利率を年 $5\%$（1 年複利）とし、死亡は上の生命表に従うものとする。収支相等の原則（保険料の期待現価と保険金の期待現価が等しい）によって定まる年払純保険料 $P$（万円）を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

年利率 $5\%$（1 年ごとの複利）が将来にわたって一定である市場を考える。ある基金は、いまから $2$ 年後、$4$ 年後、$6$ 年後、$\dots$ と、$2$ 年ごとに $10$ 万円ずつを永久に支払い続ける。この支払いの、現時点（時刻 $0$）における現在価値の総和を $X$ 万円とする。$X$ を既約分数で求めよ。

年利率 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）が一定である口座に、毎年同じ金額 $X$ 万円を、第 $1$ 年初め（時刻 $0$）、第 $2$ 年初め（時刻 $1$）、第 $3$ 年初め（時刻 $2$）の計 $3$ 回積み立てる（時刻の単位は年）。途中で引き出しはしないものとする。

第 $3$ 年末（時刻 $3$）における口座の残高（元利合計）がちょうど $728.2$ 万円になるとき、$X$ を求めよ。

ある保険会社は、ちょうど $5$ 年後に $3,630,000$ 円を支払う義務（負債）を負っている。市場の利回りは満期によらず年 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）で一定とし、すべての割引はこの利回りで行う。

会社はこの負債を免疫化（イミュニゼーション）するため、次の $2$ 種類の割引債（ゼロクーポン債）を購入する。

• 満期 $3$ 年、額面 $F_3$ 円の割引債
• 満期 $9$ 年、額面 $F_9$ 円の割引債

購入する資産について、次の $2$ つの条件を課す。

$(1)$ 資産の現在価値が負債の現在価値に等しい。

$(2)$ 資産全体のマコーレー・デュレーション（利回り $10\%$ で計算）が負債のマコーレー・デュレーションに等しい。

このとき、額面の組 $(F_3,F_9)$ をこの順に求めよ（単位は円）。

ある集団の生存者数 $l_x$（$x$ 歳ちょうどの生存者数）が、$0\le x\le 100$ の整数 $x$ について
$$l_x=100-x$$
で与えられているとする（$l_{100}=0$ であり、$100$ 歳を超えて生存する人はいない）。年利率 $i=0.25$（$1$ 年ごとの複利）が一定であるとする。

$96$ 歳ちょうどの人が次の終身保険に加入する。
- 死亡した場合、死亡した年度の末に保険金 $1000$ を支払う。
- 保険料は毎年度の初めに同じ額 $P$ を、被保険者が生存している限り支払う（第 $1$ 回は加入時）。

収支相等の原則（保険料の現価の期待値と保険金の現価の期待値が等しい）により定まる年払純保険料 $P$ を求めよ。

1 年ごとの複利で、年利率 $i$（$i>0$）が一定の市場を考える。この利率で $100$ 万円を預けると、$10$ 年後にちょうど $200$ 万円になることがわかっている。

いま $100$ 万円を年利率 $i$（1 年複利）で借り、次のように返済して $20$ 年でちょうど完済する。
- 1 年後から 10 年後まで、毎年末に $X$ 万円ずつ返済する（計 10 回）
- 11 年後から 20 年後まで、毎年末に $2X$ 万円ずつ返済する（計 10 回）

$X$ の値を求めよ。

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_x$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。

$$l_{60}=1000,l_{61}=900,l_{62}=720,l_{63}=576$$

$60$ 歳ちょうどの人が、次の条件の $3$ 年満期の定期保険に加入する。

• 加入後 $3$ 年以内に死亡した場合、死亡した保険年度の末に保険金 $1000$ 万円が支払われる（$3$ 年後に生存していれば何も支払われない）。
• 保険料は毎年同じ額 $P$ 万円で、各保険年度の始めに、被保険者が生存していれば支払う（最大 $3$ 回）。

予定利率は年 $10\%$（1 年複利）で、死亡は生命表に従って起こるものとする。収支相等の原則（保険料の期待現価と保険金の期待現価が等しい）によって定まる年払い純保険料 $P$ を求めよ。

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_x$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。
$$l_{50}=1000,l_{51}=980,l_{52}=950,l_{53}=900$$

$50$ 歳ちょうどの人が、保険期間 $3$ 年の生死混合保険（養老保険）に加入する。この保険は次のとおりである。

• 加入後 $3$ 年以内に死亡した場合は、死亡した年度の末に保険金 $1$ を支払う。
• $3$ 年後（$53$ 歳ちょうど）に生存していた場合は、その時点で満期保険金 $1$ を支払う。
• 保険料は、加入時・$1$ 年後・$2$ 年後の各時点で、その時点に生存していれば同額 $P$ を払い込む（年払い・全期払い）。

年利率は $i=0.1$（1 年複利）で一定とし、事業費は考えない。収支相等の原則（払い込む保険料の現価の期待値と、支払う保険金の現価の期待値が等しい）によって定まる年払い純保険料 $P$ を求めよ。

年利率 $i=0.1$（1 年複利）が永久に一定である市場を考える。次のように支払いが続く永久年金がある。

• $k=1,2,\dots ,10$ について、第 $k$ 年末に $k$ 万円を支払う（第 $1$ 年末に $1$ 万円、第 $2$ 年末に $2$ 万円、$\dots$、第 $10$ 年末に $10$ 万円）。
• 第 $11$ 年末以降は、毎年末に $10$ 万円ずつ永久に支払う。

この永久年金の現在（時刻 $0$）における現価を万円単位で求めよ。答えは累乗を含む形のままでよい。

$n$ を正の整数とし、時点 $k=0,1,\dots ,n$（年）に実数のキャッシュフロー $C_k$ が生じる投資を考える（$C_k<0$ は支出、$C_k>0$ は収入を表す）。年複利の利率 $i>-1$ に対する正味現在価値を
$$\mathrm{NPV}(i)=\sum _{k=0}^n\frac{C_k}{(1+i{)}^k}$$
とする。ある整数 $m$（$1\le m\le n$）があって、次の 4 条件が成り立つとする（支出がすべて収入より前に起こる投資）。
$$C_0<0,C_k\le 0(1\le k\le m-1),C_k\ge 0(m\le k\le n-1),C_n>0$$
ただし、$m=1$ のとき 2 番目の条件、$m=n$ のとき 3 番目の条件は対象となる $k$ がないので、条件を課さないものとする。このとき、方程式 $\mathrm{NPV}(i)=0$ を満たす $i\in (-1,\infty )$（内部収益率）はちょうど 1 つ存在し、さらにその $i$ が正であるための必要十分条件は $\sum _{k=0}^n{C}_k>0$ であることを証明せよ。

ただし、中間値の定理は用いてよい。

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_x$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。
$$l_{40}=1000,l_{41}=990,l_{42}=970,l_{43}=940$$
$40$ 歳ちょうどの人が、次の保険期間 $3$ 年の保険に加入する。

• 保険料は毎年同額の $P$ で、各保険年度の初め（加入時点、$1$ 年後、$2$ 年後）に、そのとき生存していれば払い込む。
• 保険期間中に死亡した場合は、死亡した保険年度の末に、保険金 $1000$ に加えて、それまでに払い込んだ保険料の合計額（利息は付けない）を支払う。
• $3$ 年後（$43$ 歳ちょうど）に生存していれば、満期保険金 $1000$ を支払う（このとき保険料の返還はない）。

年利率は $i=0.05$（$1$ 年ごとの複利）で一定とする。収支相等の原則（払い込む保険料の期待現価と、支払う給付の期待現価が等しい）により定まる年払純保険料 $P$ を、既約分数で求めよ。