数理ファイナンス・保険数学の問題

ある集団では、年齢によらず、生存している人がその後 $1$ 年間に死亡する確率はつねに $0.02$ であるとする。したがって、ある年齢 $x$ 歳ちょうどの人について、$t$ を $0$ 以上の整数として
$${}_t{p}_x=0.98^t,{}_{t|}{q}_x=0.98^t\times 0.02$$
である。

$x$ 歳ちょうどの人が次の終身保険に加入する。
- 死亡した年度の末に保険金 $1050000$ 円を支払う。
- 保険料は、加入時から毎年度の初めに、生存している限り同額 $P$ 円を払い込む。

年利率 $i=0.05$ の複利で計算し、$v=\frac{1}{1+i}$ とする。収支相等の原則（保険金の期待現価と保険料の期待現価が等しい）により、年払純保険料 $P$（円）を求めよ。

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_x$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。

$$l_{60}=1000,l_{61}=900,l_{62}=720,l_{63}=576$$

$60$ 歳ちょうどの人が、次の条件の $3$ 年満期の定期保険に加入する。

• 加入後 $3$ 年以内に死亡した場合、死亡した保険年度の末に保険金 $1000$ 万円が支払われる（$3$ 年後に生存していれば何も支払われない）。
• 保険料は毎年同じ額 $P$ 万円で、各保険年度の始めに、被保険者が生存していれば支払う（最大 $3$ 回）。

予定利率は年 $10\%$（1 年複利）で、死亡は生命表に従って起こるものとする。収支相等の原則（保険料の期待現価と保険金の期待現価が等しい）によって定まる年払い純保険料 $P$ を求めよ。

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_x$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。
$$l_{40}=1000,l_{41}=990,l_{42}=970,l_{43}=940$$
$40$ 歳ちょうどの人が、次の保険期間 $3$ 年の保険に加入する。

• 保険料は毎年同額の $P$ で、各保険年度の初め（加入時点、$1$ 年後、$2$ 年後）に、そのとき生存していれば払い込む。
• 保険期間中に死亡した場合は、死亡した保険年度の末に、保険金 $1000$ に加えて、それまでに払い込んだ保険料の合計額（利息は付けない）を支払う。
• $3$ 年後（$43$ 歳ちょうど）に生存していれば、満期保険金 $1000$ を支払う（このとき保険料の返還はない）。

年利率は $i=0.05$（$1$ 年ごとの複利）で一定とする。収支相等の原則（払い込む保険料の期待現価と、支払う給付の期待現価が等しい）により定まる年払純保険料 $P$ を、既約分数で求めよ。

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_x$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。
$$l_{40}=1000,l_{41}=990,l_{42}=972$$

$40$ 歳ちょうどの人が、次の保険期間 $2$ 年の定期保険に加入する。
- 加入後 $1$ 年以内に死亡した場合は $1$ 年目の年末に、$1$ 年後から $2$ 年後までの間に死亡した場合は $2$ 年目の年末に、保険金 $1000$ 万円が支払われる。$2$ 年後に生存していれば何も支払われない。
- 保険料は毎年同額 $P$ 万円で、加入時と $1$ 年後の年始に、そのときに生存していれば支払う（年始払い）。

予定利率を年 $5\%$（1 年複利）とし、死亡は上の生命表に従うものとする。収支相等の原則（保険料の期待現価と保険金の期待現価が等しい）によって定まる年払純保険料 $P$（万円）を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_x$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。
$$l_{50}=1000,l_{51}=980,l_{52}=950,l_{53}=900$$

$50$ 歳ちょうどの人が、保険期間 $3$ 年の生死混合保険（養老保険）に加入する。この保険は次のとおりである。

• 加入後 $3$ 年以内に死亡した場合は、死亡した年度の末に保険金 $1$ を支払う。
• $3$ 年後（$53$ 歳ちょうど）に生存していた場合は、その時点で満期保険金 $1$ を支払う。
• 保険料は、加入時・$1$ 年後・$2$ 年後の各時点で、その時点に生存していれば同額 $P$ を払い込む（年払い・全期払い）。

年利率は $i=0.1$（1 年複利）で一定とし、事業費は考えない。収支相等の原則（払い込む保険料の現価の期待値と、支払う保険金の現価の期待値が等しい）によって定まる年払い純保険料 $P$ を求めよ。