生命表と生存・死亡確率

生命表の $l_{x}$ から生存確率 $_{t} p_{x} = \frac{l _{x + t}}{l _{x}}$ と、 $t$ 年後から 1 年間に死亡する確率 $_{t ∣} q_{x} = \frac{l _{x + t} - l _{x + t + 1}}{l _{x}}$ を求められる

前提

条件付き確率と乗法定理（数学A 場合の数と確率）

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算数中学高校大学大学院

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条件付き確率と乗法定理（数学A 場合の数と確率）

説明

生命表とは、同じ年に生まれた多数の人（たとえば $l_{0} = 100000$ 人）のうち、ちょうど $x$ 歳まで生きている人数 $l_{x}$ を年齢ごとに並べた表です。この技能を使うと、表の $l_{x}$ から「いま $x$ 歳の人があと $t$ 年生きる確率」や「 $t$ 年後からの 1 年間に亡くなる確率」を求められます。生命保険の保険料や年金の計算、人口の将来予測などで、最初に必要になる計算です。

なぜそうしてよいのか

生命表では、年齢 $x$ 歳まで生存する確率を割合 $\frac{l _{x}}{l _{0}}$ とみなします。いま $x$ 歳の人について考えるということは、「 $x$ 歳まで生存した」という事象 $A$ が起こったと分かっている状況での確率、つまり条件付き確率を考えることです。 $B$ を「 $x + t$ 歳まで生存する」とすると、 $x + t$ 歳まで生きた人は必ず $x$ 歳まで生きているので $A \cap B = B$ です。よって $_{t} p_{x} = P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = \frac{l _{x + t} / l _{0}}{l _{x} / l _{0}} = \frac{l _{x + t}}{l _{x}}$ となり、 $l_{0}$ は約分されて消えます。直観的には「いま $x$ 歳の $l_{x}$ 人のうち、 $t$ 年後にも生きている $l_{x + t}$ 人の割合」です。

同じように、 $C$ を「 $x + t$ 歳までは生存し、 $x + t + 1$ 歳になる前に死亡する」とします。これに当てはまる人数は、 $x + t$ 歳の生存者から $x + t + 1$ 歳の生存者を引いた $l_{x + t} - l_{x + t + 1}$ 人です。 $C$ の人も必ず $x$ 歳まで生きているので $_{t ∣} q_{x} = P_{A} (C) = \frac{l _{x + t} - l _{x + t + 1}}{l _{x}}$ が得られます（ $t = 0$ のときは単に $q_{x}$ と書き、 $x$ 歳の人が 1 年以内に死亡する確率です）。

これは乗法定理とも合っています。「 $t$ 年生き延びる」確率 $\frac{l _{x + t}}{l _{x}}$ に、「生き延びた $x + t$ 歳の人がその 1 年で死亡する」条件付き確率 $q_{x + t} = \frac{l _{x + t} - l _{x + t + 1}}{l _{x + t}}$ を掛けると、 $l_{x + t}$ が約分されて同じ式になります。つまり $_{t ∣} q_{x} =_{t} p_{x} \cdot q_{x + t}$ です。なお、分母の $l_{x}$ は 0 でない（ $x$ 歳の生存者がいる）ことが前提です。

手順

問題の「現在の年齢 $x$ 」と「何年後 $t$ 」を読み取り、必要な表の値 $l_{x}, l_{x + t}, l_{x + t + 1}$ を確認する（ $l_{x} \neq = 0$ であること）
生存確率は、分母を現在の年齢の生存者数にして $_{t} p_{x} = \frac{l _{x + t}}{l _{x}}$ で求める
$t$ 年後から 1 年間に死亡する確率は、その 1 年間の死亡者数 $l_{x + t} - l_{x + t + 1}$ を求め、 $_{t ∣} q_{x} = \frac{l _{x + t} - l _{x + t + 1}}{l _{x}}$ で求める
必要なら乗法定理 $_{t ∣} q_{x} =_{t} p_{x} \cdot \frac{l _{x + t} - l _{x + t + 1}}{l _{x + t}}$ で検算し、分数を約分する

例題

ある生命表の一部が $l_{40} = 96000, l_{41} = 95800, l_{42} = 95500, l_{43} = 95100$ である。40 歳の人が 2 年後も生存している確率 $_{2} p_{40}$ と、40 歳の人が 42 歳から 43 歳になるまでの 1 年間に死亡する確率 $_{2∣} q_{40}$ を、この順に求めよ。

例題の解答

手順1: 現在の年齢は $x = 40$ 、 $t = 2$ である。使う値は $l_{40} = 96000$ 、 $l_{42} = 95500$ 、 $l_{43} = 95100$ で、 $l_{40} \neq = 0$ である。

手順2: 生存確率は $_{2} p_{40} = \frac{l _{42}}{l _{40}} = \frac{95500}{96000} = \frac{191}{192} .$

手順3: 42 歳から 43 歳までの死亡者数は $l_{42} - l_{43} = 95500 - 95100 = 400$ 人。よって $_{2∣} q_{40} = \frac{l _{42} - l _{43}}{l _{40}} = \frac{400}{96000} = \frac{1}{240} .$

手順4: 検算として乗法定理を使うと $_{2} p_{40} \cdot \frac{400}{95500} = \frac{95500}{96000} \cdot \frac{400}{95500} = \frac{400}{96000} = \frac{1}{240}$ で一致する。

したがって $(\frac{191}{192}, \frac{1}{240})$ 。

答え: $(\frac{191}{192}, \frac{1}{240})$

よくある誤り

分母を出生時の人数 $l_{0}$ にして $_{t} p_{x} = \frac{l _{x + t}}{l _{0}}$ としてしまう誤り。これは 0 歳の人が $x + t$ 歳まで生きる確率である。いま $x$ 歳であることが条件なので、正しくは $_{t} p_{x} = \frac{l _{x + t}}{l _{x}}$ 。
$_{t ∣} q_{x}$ の分母を $l_{x + t}$ にして $\frac{l _{x + t} - l _{x + t + 1}}{l _{x + t}}$ としてしまう誤り。これは $x + t$ 歳の人が 1 年以内に死亡する確率 $q_{x + t}$ で、途中の $t$ 年を生き延びる確率が抜けている。正しくは $\frac{l _{x + t} - l _{x + t + 1}}{l _{x}}$ （ $=_{t} p_{x} \cdot q_{x + t}$ ）。
添字を 1 つずらして $_{2∣} q_{40} = \frac{l _{41} - l _{42}}{l _{40}}$ としてしまう誤り。 $_{t ∣} q_{x}$ は「 $t$ 年後から始まる 1 年間」なので、正しくは $_{2∣} q_{40} = \frac{l _{42} - l _{43}}{l _{40}}$ 。
「 $t$ 年以内に死亡する確率」と「 $t$ 年後からの 1 年間に死亡する確率」を混同する誤り。前者は $1 -_{t} p_{x} = \frac{l _{x} - l _{x + t}}{l _{x}}$ であり、 $_{t ∣} q_{x} = \frac{l _{x + t} - l _{x + t + 1}}{l _{x}}$ とは別のものである。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_{x}$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。
$l_{65} = 2000, l_{66} = 1960, l_{67} = 1910, l_{68} = 1850, l_{69} = 1780$
$65$ 歳ちょうどの人について、 $3$ 年後（ $68$ 歳）まで生存する確率 $_{3} p_{65}$ と、 $67$ 歳に達したあと $68$ 歳に達する前に死亡する確率 $_{2∣} q_{65}$ を求め、 $(_{3} p_{65},_{2∣} q_{65})$ の組の形で答えよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

保険・生命年金の現価と純保険料（大学数学数理ファイナンス・保険数学）