数理ファイナンス・保険数学の問題

割引率を $v=\frac{1}{1+0.1}=\frac{10}{11}$ とおく。

各年度の死亡者数 $d_x=l_x-l_{x+1}$ は
$$d_{60}=1000-900=100,d_{61}=900-720=180,d_{62}=720-576=144$$
である。

保険金の期待現価. $60$ 歳の人が $k+1$ 年目（$k=0,1,2$）に死亡する確率は $\frac{d_{60+k}}{l_{60}}$ で、そのとき保険金は $k+1$ 年後に支払われる。よって保険金 $1000$ 万円の期待現価は
$$A=1000\left(\frac{100}{1000}v+\frac{180}{1000}{v}^2+\frac{144}{1000}{v}^3\right)=100v+180v^2+144v^3.$$
$v=\frac{10}{11}$ を代入すると
$$A=\frac{1000}{11}+\frac{18000}{121}+\frac{144000}{1331}=\frac{121000+198000+144000}{1331}=\frac{463000}{1331}.$$

保険料の期待現価. $k$ 年後（$k=0,1,2$）の保険料は、その時点で生存していれば払われるので、生存確率は $\frac{l_{60+k}}{l_{60}}$。年 $1$ 万円の期首払い年金の期待現価は
$$\ddot{a}=\frac{l_{60}+l_{61}v+l_{62}{v}^2}{l_{60}}=1+0.9\cdot \frac{10}{11}+0.72\cdot \frac{100}{121}=\frac{121+99+72}{121}=\frac{292}{121}.$$
よって保険料の期待現価は $P\ddot{a}$。

収支相等. $P\ddot{a}=A$ より
$$P=\frac{463000}{1331}\cdot \frac{121}{292}=\frac{463000}{11\cdot 292}=\frac{463000}{3212}=\frac{115750}{803}.$$
（$803=11\cdot 73$、$115750=2\cdot 5^3\cdot 463$ なのでこれ以上約分できない。約 $144.1$ 万円。）

したがって $P=\frac{115750}{803}$ 万円である。

各年の死亡者数（60歳の1000人あたり）は、第1年度 $l_{60}-l_{61}=100$、第2年度 $l_{61}-l_{62}=180$、第3年度 $l_{62}-l_{63}=144$ 人。$v=1/1.1$ とする。

保険金の期待現価（1000人あたり、万円）：
$1000\left(100v+180v^2+144v^3\right)=1000\cdot \frac{100\cdot 1.21+180\cdot 1.1+144}{1.331}=1000\cdot \frac{463}{1.331}$

保険料の期待現価（1000人あたり）：
$P\left(l_{60}+l_{61}v+l_{62}{v}^2\right)=P\left(1000+\frac{900}{1.1}+\frac{720}{1.21}\right)=P\cdot \frac{1210+990+720}{1.21}=P\cdot \frac{2920}{1.21}$

収支相等より
$P=\frac{1000\cdot 463/1.331}{2920/1.21}\cdot \frac{1}{1}$
ここで保険金は1000万円、人数は1000人で、保険金の期待現価は $1000\text{(万円)}\times \frac{463}{1.331}$ 、保険料側は $P\times \frac{2920}{1.21}$ （人数は共通の1000人で消える形に直すと、保険金側は $1000\times \frac{463}{1.331}$、保険料側は $P\times \frac{2920}{1.21}$ のまま、両辺とも人数合計での値）。

正確には、保険金側は $1000\text{万円}\times (100v+180v^2+144v^3)$、保険料側は $P\times (1000+900v+720v^2)$ なので
$P=\frac{1000\cdot 463/1.331}{2920/1.21\cdot 1000/1000}$

数値で整理する。保険金側: $100v+180v^2+144v^3=\frac{463}{1.331}\approx 347.86$、これに1000万円を掛けて $347860$（万円・人）。保険料側の係数: $\frac{2920}{1.21}\approx 2413.22$ 人。よって
$P=\frac{1000\cdot 347.86}{2413.22\cdot 1000}\cdot 1000$ ではなく、単純に $P=\frac{1000\times 347.86}{2413.22}$ とすると $P\approx 144.1$ 万円となってしまう。これは人数の扱いを誤っており、保険金側の死亡者数 $100,180,144$ はすでに人数なので上の保険金期待現価 $=1000\times 347.86$ は「万円」の合計、保険料側 $2413.22$ は「人」の数であるから、$P=\frac{347860}{2413.22}\approx 144.1$ となる。ここで保険金は1000万円であり、$1000\times 347.86=347860$ は正しい。ただし $100v+180v^2+144v^3$ の単位は人なので、$347.86$ 人分の保険金 $=347.86\times 1000$ 万円 $=347860$ 万円。保険料側は $2413.22$ 人分の保険料。$P=347860/2413.22\approx 144.1$ 万円。

しかし、$l_{60}=1000$ に対し死亡者の現価の和は $347.86$ 人分であるから、保険金1000万円あたりの確率で見ると死亡の期待現価は $0.34786$、年金現価は $2.41322$ なので、保険金1000万円のとき
$P=1000\times \frac{0.34786}{2.41322}\approx 144.1$ 万円。

再確認：$0.34786/2.41322=0.14415$ なので、$P=1000\times 0.14415=144.15$ ではなく、$1000\times 0.14415=144.15$ 万円。

以上より、分数で厳密に書くと $P=1000\cdot \frac{463}{3212}=\frac{463000}{3212}=\frac{115750}{803}\approx 144.15$（万円）。

検算：$803\times 144=115632$、残り $118$、$118/803\approx 0.147$ なので $144.147$。保険料現価 $144.147\times 2.41322=347.86$（期待値ベース、1人あたり）、保険金現価 $1000\times 0.34786=347.86$ で一致。