数理ファイナンス・保険数学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学数理ファイナンス・保険数学

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_{x}$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。
$l_{40} = 1000, l_{41} = 990, l_{42} = 970, l_{43} = 940$
$40$ 歳ちょうどの人が、次の保険期間 $3$ 年の保険に加入する。

保険料は毎年同額の $P$ で、各保険年度の初め（加入時点、 $1$ 年後、 $2$ 年後）に、そのとき生存していれば払い込む。
保険期間中に死亡した場合は、死亡した保険年度の末に、保険金 $1000$ に加えて、それまでに払い込んだ保険料の合計額（利息は付けない）を支払う。
$3$ 年後（ $43$ 歳ちょうど）に生存していれば、満期保険金 $1000$ を支払う（このとき保険料の返還はない）。

年利率は $i = 0.05$ （ $1$ 年ごとの複利）で一定とする。収支相等の原則（払い込む保険料の期待現価と、支払う給付の期待現価が等しい）により定まる年払純保険料 $P$ を、既約分数で求めよ。

この問題で使うもの

生命表と生存・死亡確率（説明と入口の問題）
複利と現在価値（説明と入口の問題）
保険・生命年金の現価と純保険料（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（29 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

保険料収入の期待現価と、給付（保険金 1000 の部分と保険料返還の部分）の期待現価をそれぞれ生命表から書き出し、等式を立てる。

ヒント 2

第 $k + 1$ 保険年度に死亡した人への返還額は $(k + 1) P$ なので、返還部分の現価は $P \sum_{k = 0}^{2} (k + 1) d_{40 + k} v^{k + 1}$ （累加定期保険の形）になる。 $P$ を含む項を左辺にまとめる。

ヒント 3

$l_{40}$ 倍して整理すると $P (1000 + 980 v + 930 v^{2} - 90 v^{3}) = 1000 (10 v + 20 v^{2} + 970 v^{3})$ 、ただし $v = \frac{20}{21}$ 。

答えと解説

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\frac{40081000}{124983}

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割引率を $v = \frac{1}{1.05} = \frac{20}{21}$ とする。各年の死亡者数は
$d_{40} = l_{40} - l_{41} = 10, d_{41} = l_{41} - l_{42} = 20, d_{42} = l_{42} - l_{43} = 30$
である。以下、すべての期待現価に $l_{40} = 1000$ を掛けた量（集団全体での現価）で考える。

保険料収入の現価：時刻 $k$ （ $k = 0, 1, 2$ ）に生存している $l_{40 + k}$ 人が $P$ を払うので
$P (l_{40} + l_{41} v + l_{42} v^{2}) = P (1000 + 990 v + 970 v^{2}) .$

保険金 $1000$ の部分の現価：第 $k + 1$ 保険年度の死亡者 $d_{40 + k}$ 人には時刻 $k + 1$ に $1000$ 、満期生存者 $l_{43}$ 人には時刻 $3$ に $1000$ を支払うので
$1000 (10 v + 20 v^{2} + 30 v^{3} + 940 v^{3}) = 1000 (10 v + 20 v^{2} + 970 v^{3}) .$

保険料返還の部分の現価：第 $k + 1$ 保険年度に死亡した人は、それまでに $k + 1$ 回保険料を払っているので、返還額は $(k + 1) P$ である。よって
$P (1 \cdot 10 v + 2 \cdot 20 v^{2} + 3 \cdot 30 v^{3}) = P (10 v + 40 v^{2} + 90 v^{3}) .$

収支相等：
$P (1000 + 990 v + 970 v^{2}) = 1000 (10 v + 20 v^{2} + 970 v^{3}) + P (10 v + 40 v^{2} + 90 v^{3})$
より
$P = \frac{1000 ( 10 v + 20 v ^{2} + 970 v ^{3} )}{1000 + 980 v + 930 v ^{2} - 90 v ^{3}} .$

分子・分母に $2 1^{3} = 9261$ を掛けて $v = \frac{20}{21}$ を代入する。

分子： $10 \cdot 20 \cdot 441 + 20 \cdot 400 \cdot 21 + 970 \cdot 8000 = 88200 + 168000 + 7760000 = 8016200$ 。

分母： $1000 \cdot 9261 + 980 \cdot 20 \cdot 441 + 930 \cdot 400 \cdot 21 - 90 \cdot 8000 = 9261000 + 8643600 + 7812000 - 720000 = 24996600$ 。

したがって
$P = \frac{1000 \cdot 8016200}{24996600} = \frac{80162000}{249966} = \frac{40081000}{124983} .$
$124983 = 3^{4} \cdot 1543$ （ $1543$ は素数）であり、 $40081000 = 40081 \cdot 2^{3} \cdot 5^{3}$ は $3$ でも $1543$ でも割り切れないので、これが既約分数である（ $P \approx 320.70$ ）。

別解

$v = 1/1.05 = 20/21$ とおく。 $40$ 歳の $1000$ 人について考える。死亡数は、第 $1$ 年度に $10$ 人、第 $2$ 年度に $20$ 人、第 $3$ 年度に $30$ 人で、 $43$ 歳まで生存するのは $940$ 人である。

保険料の収入現価は $P (1000 + 990 v + 970 v^{2})$ である。

給付の現価は次の通り。第 $k$ 年度に死亡した人には保険金 $1000$ と保険料 $k P$ を年度末に支払う。満期まで生存した人には $1000$ だけを支払う。
$10 (1000 + P) v + 20 (1000 + 2 P) v^{2} + 30 (1000 + 3 P) v^{3} + 940 \cdot 1000 v^{3}$

収支相等より
$P [1000 + 990 v + 970 v^{2} - 10 v - 40 v^{2} - 90 v^{3}] = 1000 [10 v + 20 v^{2} + 970 v^{3}]$

左辺の括弧は $1000 + 980 v + 930 v^{2} - 90 v^{3}$ である。

両辺に $2 1^{3} = 9261$ を掛けて計算する。
左辺の括弧は $9261000 + 8643600 + 7812000 - 720000 = 24996600$ になる。
右辺の括弧は $88200 + 168000 + 7760000 = 8016200$ なので、右辺は $1000 \times 8016200$ である。

よって
$P = \frac{8016200000}{24996600} = \frac{40081000}{124983}$

$124983 = 3^{4} \cdot 1543$ （ $1543$ は素数）、 $40081000 = 40081 \times 1000$ である。分子は $3$ の倍数でなく、 $40081$ は $1543$ の倍数でもない（ $1543 \times 26 = 40118$ ）ので、この分数は既約。 $P \approx 320.7$ 。

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