数理ファイナンス・保険数学の問題

年利率 $5\%$（1 年ごとの複利）が将来にわたって一定である市場を考える。ある基金は、いまから $2$ 年後、$4$ 年後、$6$ 年後、$\dots$ と、$2$ 年ごとに $10$ 万円ずつを永久に支払い続ける。この支払いの、現時点（時刻 $0$）における現在価値の総和を $X$ 万円とする。$X$ を既約分数で求めよ。

1 年ごとの複利で、年利率 $i$（$i>0$）が一定の市場を考える。この利率で $100$ 万円を預けると、$10$ 年後にちょうど $200$ 万円になることがわかっている。

いま $100$ 万円を年利率 $i$（1 年複利）で借り、次のように返済して $20$ 年でちょうど完済する。
- 1 年後から 10 年後まで、毎年末に $X$ 万円ずつ返済する（計 10 回）
- 11 年後から 20 年後まで、毎年末に $2X$ 万円ずつ返済する（計 10 回）

$X$ の値を求めよ。

時刻 $t$（単位は年、$t\ge 0$）における利力（瞬間的な利率）が
$$\delta (t)=\frac{2}{20+t}$$
で与えられる市場を考える。すなわち、時刻 $t$ の金額 $1$ の時刻 $0$ における現価は $v(t)=\exp \left(-{\int }_0^t\delta (s)ds\right)$ である。

この市場で、$0\le t\le 20$ の間、時刻 $t$ において年あたり $t$ 万円の割合で連続的に支払われる年金（時刻 $t$ から $t+dt$ の間に $tdt$ 万円が支払われる）がある。この年金の時刻 $0$ における現価（万円）を求めよ。

年利率 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）が一定である口座に、毎年同じ金額 $X$ 万円を、第 $1$ 年初め（時刻 $0$）、第 $2$ 年初め（時刻 $1$）、第 $3$ 年初め（時刻 $2$）の計 $3$ 回積み立てる（時刻の単位は年）。途中で引き出しはしないものとする。

第 $3$ 年末（時刻 $3$）における口座の残高（元利合計）がちょうど $728.2$ 万円になるとき、$X$ を求めよ。

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_x$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。
$$l_{50}=1000,l_{51}=980,l_{52}=950,l_{53}=900$$

$50$ 歳ちょうどの人が、保険期間 $3$ 年の生死混合保険（養老保険）に加入する。この保険は次のとおりである。

• 加入後 $3$ 年以内に死亡した場合は、死亡した年度の末に保険金 $1$ を支払う。
• $3$ 年後（$53$ 歳ちょうど）に生存していた場合は、その時点で満期保険金 $1$ を支払う。
• 保険料は、加入時・$1$ 年後・$2$ 年後の各時点で、その時点に生存していれば同額 $P$ を払い込む（年払い・全期払い）。

年利率は $i=0.1$（1 年複利）で一定とし、事業費は考えない。収支相等の原則（払い込む保険料の現価の期待値と、支払う保険金の現価の期待値が等しい）によって定まる年払い純保険料 $P$ を求めよ。