数理ファイナンス・保険数学の問題

時刻 $t$（単位は年、$0\le t\le 10$）における利力が
$$\delta (t)=\frac{t}{500}$$
で与えられる市場を考える。時刻 $t$ に受け取る金額 $1$ の時刻 $0$ における現価は
$$v(t)=\exp \left(-{\int }_0^t\delta (s)ds\right)$$
である。時刻 $0$ から時刻 $10$ までの間、時刻 $t$ において年あたり $\rho (t)=t$ の割合で連続的に支払われる年金がある。この年金の時刻 $0$ における現価
$${\int }_0^{10}\rho (t)v(t)dt$$
を求めよ。

時刻 $t$（単位は年、$t\ge 0$）における利力が
$$\delta (t)=0.04+\frac{1}{1+t}$$
で与えられる市場を考える。時刻 $t$ に受け取る金額 $1$ の時刻 $0$ における現価は $v(t)=\exp \left(-{\int }_0^t\delta (s)ds\right)$ である。

いま、時刻 $0$ から永久に、時刻 $t$ において年あたり $\rho (t)=1+t$（万円）の割合で連続的に支払われる年金がある。この永久年金の時刻 $0$ における現価
$${\int }_0^{\infty }\rho (t)v(t)dt$$
は何万円か。

利力（瞬間的な利率）が時刻によらず一定で $\delta (t)=0.08$（年あたり）である市場を考える。時刻 $t$（単位は年、$t\ge 0$）に受け取る金額 $1$ の時刻 $0$ における現価は
$$v(t)=\exp \left(-{\int }_0^t\delta (s)ds\right)$$
で与えられる。

いま、時刻 $0$ から永久に、時刻 $t$ において年あたり $\rho (t)=60e^{0.02t}$ の割合で連続的に支払われる年金（支払額が年 $2\%$ の割合で連続的に増えていく永久年金）がある。この年金の時刻 $0$ における現価
$${\int }_0^{\infty }\rho (t)v(t)dt$$
を求めよ。

利力（連続複利の利率）が満期によらず一定で $\delta =0.05$（年あたり）である市場を考える。すなわち、時刻 $t$（年）に受け取る金額 $1$ の時刻 $0$ における現在価値は $e^{-\delta t}$ である。

ある保険会社は、時刻 $10$ に $1000$ 万円を支払う負債を負っている。この会社は時刻 $0$ に次の 2 種類の資産を購入して負債を免疫化（イミュナイゼーション）したい。

• 資産 A: 時刻 $5$ に額面 $X$ 万円が支払われる割引債（クーポンなし）
• 資産 B: 時刻 $0$ から永久に、年あたり $C$ 万円の一定の速度で連続的に支払いが行われる永久債（時刻 $t$ から $t+dt$ の間に $Cdt$ 万円が支払われる）

資産全体の現在価値と負債の現在価値が等しく、かつ資産全体のマコーレー・デュレーションと負債のマコーレー・デュレーションが等しくなるように $X$ と $C$ を定める。ここで、時刻 $0$ における現在価値が $P>0$ のキャッシュフローのマコーレー・デュレーションとは、各支払いの時刻をその支払いの現在価値で重み付けた平均
$$D=\frac{1}{P}\left(\sum t\cdot (\text{時刻 }t\text{ の支払いの現在価値})\right)$$
（連続的な支払いでは和を積分に置き換える）である。組 $(X,C)$ をこの順に求めよ。

年利率 $i=0.1$（1 年複利）が永久に一定である市場を考える。次のように支払いが続く永久年金がある。

• $k=1,2,\dots ,10$ について、第 $k$ 年末に $k$ 万円を支払う（第 $1$ 年末に $1$ 万円、第 $2$ 年末に $2$ 万円、$\dots$、第 $10$ 年末に $10$ 万円）。
• 第 $11$ 年末以降は、毎年末に $10$ 万円ずつ永久に支払う。

この永久年金の現在（時刻 $0$）における現価を万円単位で求めよ。答えは累乗を含む形のままでよい。