数理ファイナンス・保険数学の問題

利力（瞬間的な利率）が時刻によらず一定で $\delta (t)=0.08$（年あたり）である市場を考える。時刻 $t$（単位は年、$t\ge 0$）に受け取る金額 $1$ の時刻 $0$ における現価は
$$v(t)=\exp \left(-{\int }_0^t\delta (s)ds\right)$$
で与えられる。

いま、時刻 $0$ から永久に、時刻 $t$ において年あたり $\rho (t)=60e^{0.02t}$ の割合で連続的に支払われる年金（支払額が年 $2\%$ の割合で連続的に増えていく永久年金）がある。この年金の時刻 $0$ における現価
$${\int }_0^{\infty }\rho (t)v(t)dt$$
を求めよ。

時刻 $t$（単位は年、$t\ge 0$）における利力が
$$\delta (t)=0.04+\frac{1}{1+t}$$
で与えられる市場を考える。時刻 $t$ に受け取る金額 $1$ の時刻 $0$ における現価は $v(t)=\exp \left(-{\int }_0^t\delta (s)ds\right)$ である。

いま、時刻 $0$ から永久に、時刻 $t$ において年あたり $\rho (t)=1+t$（万円）の割合で連続的に支払われる年金がある。この永久年金の時刻 $0$ における現価
$${\int }_0^{\infty }\rho (t)v(t)dt$$
は何万円か。

時刻 $t$（単位は年、$t\ge 0$）における利力（瞬間的な利率）が
$$\delta (t)=\frac{2}{20+t}$$
で与えられる市場を考える。すなわち、時刻 $t$ の金額 $1$ の時刻 $0$ における現価は $v(t)=\exp \left(-{\int }_0^t\delta (s)ds\right)$ である。

この市場で、$0\le t\le 20$ の間、時刻 $t$ において年あたり $t$ 万円の割合で連続的に支払われる年金（時刻 $t$ から $t+dt$ の間に $tdt$ 万円が支払われる）がある。この年金の時刻 $0$ における現価（万円）を求めよ。

ブラック・ショールズ・モデルで、配当のない株式を原資産とするヨーロピアン・コール・オプションを考える。現在の株価は $S_0=200$ 円、権利行使価格は $K=200$ 円、満期までの期間は $T=1$ 年、安全資産の利子率は連続複利で年率 $r=0.05$、ボラティリティ（年率）は $\sigma =0.2$ とする。コールの価格は
$$C=S_{0}N(d_1)-K{e}^{-rT}N(d_2),d_1=\frac{\log \frac{S_0}{K}+\left(r+\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}},d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$$
で与えられる。ここで $N(x)$ は標準正規分布の累積分布関数である。計算には $N(0.35)=0.6368$、$N(0.15)=0.5596$、$e^{-0.05}=0.9512$ を用いよ。このコール・オプションの価格 $C$（円）を、小数第 2 位を四捨五入して小数第 1 位まで求めよ。

確率変数 $Z$ が標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとする。すなわち、$Z$ の確率密度関数は
$$f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}(-\infty <z<\infty )$$
である。このとき、確率変数
$$Y=e^{1+3Z}$$
の期待値 $E[Y]$ を求めよ。