数理ファイナンス・保険数学の問題

時刻 $t$（単位は年、$0\le t\le 10$）における利力が
$$\delta (t)=\frac{t}{500}$$
で与えられる市場を考える。時刻 $t$ に受け取る金額 $1$ の時刻 $0$ における現価は
$$v(t)=\exp \left(-{\int }_0^t\delta (s)ds\right)$$
である。時刻 $0$ から時刻 $10$ までの間、時刻 $t$ において年あたり $\rho (t)=t$ の割合で連続的に支払われる年金がある。この年金の時刻 $0$ における現価
$${\int }_0^{10}\rho (t)v(t)dt$$
を求めよ。

利力（瞬間的な利率）が時刻によらず一定で $\delta (t)=0.08$（年あたり）である市場を考える。時刻 $t$（単位は年、$t\ge 0$）に受け取る金額 $1$ の時刻 $0$ における現価は
$$v(t)=\exp \left(-{\int }_0^t\delta (s)ds\right)$$
で与えられる。

いま、時刻 $0$ から永久に、時刻 $t$ において年あたり $\rho (t)=60e^{0.02t}$ の割合で連続的に支払われる年金（支払額が年 $2\%$ の割合で連続的に増えていく永久年金）がある。この年金の時刻 $0$ における現価
$${\int }_0^{\infty }\rho (t)v(t)dt$$
を求めよ。

時刻 $t$（単位は年、$t\ge 0$）における利力（瞬間的な利率）が
$$\delta (t)=\frac{2}{20+t}$$
で与えられる市場を考える。すなわち、時刻 $t$ の金額 $1$ の時刻 $0$ における現価は $v(t)=\exp \left(-{\int }_0^t\delta (s)ds\right)$ である。

この市場で、$0\le t\le 20$ の間、時刻 $t$ において年あたり $t$ 万円の割合で連続的に支払われる年金（時刻 $t$ から $t+dt$ の間に $tdt$ 万円が支払われる）がある。この年金の時刻 $0$ における現価（万円）を求めよ。

ある金融商品は、$1$ 年後の年末と $2$ 年後の年末にそれぞれ $121$ 万円を支払い、それ以外の支払いはない（$2$ 年確定の期末払い年金）。年 $1$ 回複利の利回りを $y=0.1$（年 $10\%$）とし、この商品の価格 $P$ は支払いの現在価値の和 $P={\sum }_k\frac{C_k}{(1+y{)}^{t_k}}$ で与えられるとする。

この商品のマコーレー・デュレーション
$$D=\frac{1}{P}\sum _k{t}_k\frac{C_k}{(1+y{)}^{t_k}}$$
と修正デュレーション
$$D_{\mathrm{mod}}=-\frac{1}{P}\frac{dP}{dy}$$
を（単位は年）、$(D,D_{\mathrm{mod}})$ の順に既約分数で求めよ。

ある投資家が、次のキャッシュフローを受け取る貸付債権を保有している。

• $1$ 年後の年末に $110$ 万円
• $2$ 年後の年末に $242$ 万円
• $3$ 年後の年末に $133.1$ 万円

利回りは満期によらず年 $y=10\%$（$1$ 年ごとの複利）で一定とし、すべての割引はこの利回りで行う。この債権の修正デュレーション
$$D_{\mathrm{mod}}=-\frac{1}{P}\frac{dP}{dy}$$
を $y=0.1$ において求めよ（単位は年）。ここで $P$ はこの債権の現在価値である。