利力と連続払いの現価

利力 $δ (t)$ から現価 $v (t) = exp (- \int_{0}^{t} δ (s) d s)$ を求め、連続的に支払われる年金の現価 $\int_{0}^{n} ρ (t) v (t) d t$ （無限区間の永久年金を含む）を計算できる

前提

複利と現在価値（大学数学数理ファイナンス・保険数学）
広義積分（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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広義積分（大学数学微分積分）

説明

利力 $δ (t)$ は「時刻 $t$ でお金がどれだけの速さで増えているか」を表す瞬間的な利率です。利力がわかれば、時刻 $t$ に受け取る 1 の現在の価値（現価） $v (t)$ を求められます。さらに、時間に沿って途切れなく支払われる年金（連続払いの年金）の現価を積分で計算できます。永久に続く年金の現価も、広義積分として扱えます。

なぜそうしてよいのか

時刻 0 に 1 を預けたとき、時刻 $t$ での残高を $a (t)$ とします（ $a (0) = 1$ , $a (t) > 0$ ）。利力は、残高 1 あたりの増える速さ $δ (t) = \frac{a ^{'} ( t )}{a ( t )}$ で定義します。右辺は $(lo g a (t))^{'}$ に等しいので、両辺を $0$ から $t$ まで積分すると $lo g a (t) - lo g a (0) = \int_{0}^{t} δ (s) d s$ です。 $a (0) = 1$ より $a (t) = exp (\int_{0}^{t} δ (s) d s)$ となります。時刻 $t$ に 1 を受け取るために時刻 0 で必要な額が現価です。それは $a (t)$ の逆数なので、 $v (t) = exp (- \int_{0}^{t} δ (s) d s)$ が得られます。

利力が定数 $δ$ のときは $a (t) = e^{δ t}$ です。これを年利率 $i$ の複利 $(1 + i)^{t}$ と一致させると $e^{δ} = 1 + i$ 、つまり $δ = lo g (1 + i)$ になります。このとき $v (t) = e^{- δ t} = (1 + i)^{- t} = v^{t}$ で、前提の複利の現価と同じものです。

連続払いの年金では、時刻 $t$ に単位時間あたり $ρ (t)$ の割合で支払いが流れ込みます。短い時間 $[t, t + Δ t]$ に支払われる額はおよそ $ρ (t) Δ t$ で、その現価はおよそ $ρ (t) v (t) Δ t$ です。これを全区間で足し合わせ、 $Δ t \to 0$ とすると定積分になります。こうして現価は $\int_{0}^{n} ρ (t) v (t) d t$ と表せます。永久年金はこの積分の上端を $n \to \infty$ とした広義積分で、極限が有限のときにだけ現価が定まります。

手順

利力を積分する: $\int_{0}^{t} δ (s) d s$ を計算する（定数なら $δ t$ ）。
現価を作る: $v (t) = exp (- \int_{0}^{t} δ (s) d s)$ 。指数と対数の性質で、できるだけ簡単な形にする。
年金の現価を積分で表す: 支払率 $ρ (t)$ を掛けて $\int_{0}^{n} ρ (t) v (t) d t$ と書く。
積分を計算する。定数利力・定数支払率 1 なら $\int_{0}^{n} e^{- δ t} d t = \frac{1 - e ^{- δ n}}{δ}$ （ $δ > 0$ ）となる。
永久年金では、まず上端を $N$ として積分を計算し、 $N \to \infty$ の極限をとって収束を確かめる。定数利力 $δ > 0$ 、支払率 1 なら値は $\frac{1}{δ}$ になる。

例題

利力が $δ (t) = \frac{2}{20 + t}$ $(t \geq 0)$ で与えられている。年額 100 の割合で時刻 0 から永久に連続的に支払われる年金の、時刻 0 における現価を求めよ。

例題の解答

手順1: $\int_{0}^{t} \frac{2}{20 + s} d s = 2 [lo g (20 + s)]_{0}^{t} = 2 lo g \frac{20 + t}{20}$ である。
手順2: $v (t) = exp (- 2 lo g \frac{20 + t}{20}) = (\frac{20}{20 + t})^{2} = \frac{400}{( 20 + t ) ^{2}}$ となる。
手順3: 求める現価は $\int_{0}^{\infty} 100 \cdot \frac{400}{( 20 + t ) ^{2}} d t$ と表せる。
手順4・5: 上端を $N$ として計算する。 $\int_{0}^{N} \frac{40000}{( 20 + t ) ^{2}} d t = 40000 [- \frac{1}{20 + t}]_{0}^{N} = 40000 (\frac{1}{20} - \frac{1}{20 + N})$ である。 $N \to \infty$ とすると $\frac{1}{20 + N} \to 0$ なので、極限は有限値 $\frac{40000}{20} = 2000$ に収束する。よって現価は $2000$ である。

答え: $2000$

よくある誤り

利力が時間で変わるのに $v (t) = e^{- t δ (t)}$ としてしまう誤り。正しくは積分を使い、 $v (t) = exp (- \int_{0}^{t} δ (s) d s)$ とする。例えば $δ (t) = \frac{2}{20 + t}$ なら $v (t) = e^{- \frac{2 t}{20 + t}}$ ではなく $v (t) = (\frac{20}{20 + t})^{2}$ である。
年利率 $i$ と利力 $δ$ を取り違え、 $v (t) = e^{- i t}$ としてしまう誤り。正しくは $δ = lo g (1 + i)$ で、 $v (t) = e^{- δ t} = (1 + i)^{- t}$ である。
連続払いの永久年金（支払率 1）の現価を $\frac{1}{i}$ としてしまう誤り。正しくは $\int_{0}^{\infty} e^{- δ t} d t = \frac{1}{δ} = \frac{1}{lo g ( 1 + i )}$ である（ $δ > 0$ のとき）。同様に、 $n$ 年間の連続払い年金は $\frac{1 - v ^{n}}{δ}$ であり、 $\frac{1 - v ^{n}}{i}$ ではない。
永久年金の広義積分で、収束を確かめずに $\infty$ をそのまま代入してしまう誤り。正しくは、上端 $N$ までの積分を求めてから $N \to \infty$ の極限をとる。例えば $δ = 0$ なら $\int_{0}^{N} 1 d t = N \to \infty$ と発散し、現価は定まらない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

免疫化（イミュナイゼーション）（大学数学数理ファイナンス・保険数学）