数理ファイナンス・保険数学の問題

時刻 $t$（単位は年、$t\ge 0$）における利力（瞬間的な利率）が
$$\delta (t)=\frac{2}{20+t}$$
で与えられる市場を考える。すなわち、時刻 $t$ の金額 $1$ の時刻 $0$ における現価は $v(t)=\exp \left(-{\int }_0^t\delta (s)ds\right)$ である。

この市場で、$0\le t\le 20$ の間、時刻 $t$ において年あたり $t$ 万円の割合で連続的に支払われる年金（時刻 $t$ から $t+dt$ の間に $tdt$ 万円が支払われる）がある。この年金の時刻 $0$ における現価（万円）を求めよ。

ブラック・ショールズ・モデルを考える。配当のない株式の時刻 $t$ における価格 $S_t$ は、リスク中立確率測度 $Q$ のもとで
$$S_t=S_0\exp \left(\left(r-\frac{{\sigma }^2}{2}\right)t+\sigma W_t\right)(t\ge 0)$$
に従う。ここで $W_t$ は $Q$ のもとでの標準ブラウン運動であり、$S_0=100$、安全利子率（連続複利）は $r=0.05$、ボラティリティは $\sigma =0.2$ である。

満期 $T=1$（年）に、$S_T>K$ ならば $S_T^2$ 円、$S_T\le K$ ならば $0$ 円を受け取る派生証券がある。ここで $K=100e^{0.03}$ である。この派生証券の時刻 $0$ における無裁定価格 $V$ は、満期の受取額を $e^{-rT}$ で割り引いた $Q$ のもとでの期待値で与えられる。

標準正規分布の累積分布関数を $N(x)$ とし、$N(0.4)=0.6554$、$e^{0.09}=1.0942$ として、$V$ を小数第 1 位を四捨五入して整数で求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、時刻 $0<t_1<t_2<\cdots <t_n$ にそれぞれ正の金額 $c_1,c_2,\dots ,c_n$ が支払われる債券を考える。連続複利の利回り $y\in \mathbb{R}$ に対して、この債券の価格を
$$P(y)=\sum _{k=1}^n{c}_k{e}^{-y{t}_k}$$
とし、マコーレー・デュレーションを
$$D(y)=\frac{1}{P(y)}\sum _{k=1}^n{t}_k{c}_k{e}^{-y{t}_k}$$
で定める。このとき、関数 $D:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ は $\mathbb{R}$ 上で狭義単調減少であり、その値域は開区間 $(t_1,t_n)$ に一致することを証明せよ。

ただし、微分可能な関数についての平均値の定理と中間値の定理は用いてよい。

ある保険会社は、ちょうど $5$ 年後に $3,630,000$ 円を支払う義務（負債）を負っている。市場の利回りは満期によらず年 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）で一定とし、すべての割引はこの利回りで行う。

会社はこの負債を免疫化（イミュニゼーション）するため、次の $2$ 種類の割引債（ゼロクーポン債）を購入する。

• 満期 $3$ 年、額面 $F_3$ 円の割引債
• 満期 $9$ 年、額面 $F_9$ 円の割引債

購入する資産について、次の $2$ つの条件を課す。

$(1)$ 資産の現在価値が負債の現在価値に等しい。

$(2)$ 資産全体のマコーレー・デュレーション（利回り $10\%$ で計算）が負債のマコーレー・デュレーションに等しい。

このとき、額面の組 $(F_3,F_9)$ をこの順に求めよ（単位は円）。

3 期間の二項モデルを考える。時刻 $0$ の株価は $S_0=64$ であり、各期に株価は $u=\frac{3}{2}$ 倍になるか $d=\frac{3}{4}$ 倍になるかのどちらかである（どちらも正の確率で起こる）。安全資産の 1 期あたりの利子率は $r=\frac{1}{8}$ で一定とし、株式は配当を支払わず、取引費用はなく、株式・安全資産は任意の量を売買（空売りを含む）できるものとする。

この株式を原資産とする、行使価格 $K=80$、満期が時刻 $3$ のアメリカン・プット・オプションを考える。このオプションの保有者は、時刻 $0,1,2,3$ のどれか $1$ つの時点で権利を行使でき、時刻 $n$ に行使すると $K-S_n$ を受け取る（$S_n$ は時刻 $n$ の株価。$K-S_n\le 0$ のときは行使しない）。裁定機会がないとき、このオプションの時刻 $0$ における価格を求めよ。