マコーレー・デュレーションと修正デュレーション

マコーレー・デュレーション $D = \frac{1}{P} \sum_{k} t_{k} \frac{C _{k}}{( 1 + y ) ^{t_{k}}}$ と修正デュレーション $D_{mod} = - \frac{1}{P} \frac{d P}{d y} = \frac{D}{1 + y}$ を求められる

前提

債券の価格と最終利回り（大学数学数理ファイナンス・保険数学）
合成関数の微分（数学III 微分法）

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算数中学高校大学大学院

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説明

マコーレー・デュレーション $D$ は、債券から受け取るお金が「平均して何年後に入ってくるか」を表す量です。平均をとるときの重みには、各受け取りの現在価値を使います。修正デュレーション $D_{mod}$ は、最終利回り $y$ が少し動いたときに、価格 $P$ が何割変わるかを表します。どちらも、金利の変化に対して債券価格がどれだけ動くか（金利リスク）を比べたり見積もったりするときに使います。

なぜそうしてよいのか

時点 $t_{k}$ （年）に $C_{k}$ を受け取る債券の価格は $P = \sum_{k} \frac{C _{k}}{( 1 + y ) ^{t_{k}}}$ です。ここでは $y > - 1$ 、各 $C_{k} > 0$ とします。したがって $P > 0$ です。

$w_{k} = \frac{1}{P} \cdot \frac{C _{k}}{( 1 + y ) ^{t_{k}}}$ とおきます。 $C_{k} > 0$ なので各 $w_{k}$ は正で、 $\sum_{k} w_{k} = 1$ が成り立ちます。つまり $w_{k}$ は「価格のうち、時点 $t_{k}$ の受け取りが占める割合」です。マコーレー・デュレーション $D = \sum_{k} t_{k} w_{k}$ は、受取時点 $t_{k}$ をこの割合で重み付けして平均したものです。そのため、受け取りが満期 $T$ の 1 回だけ（割引債）なら $D = T$ になります。途中にクーポンがあれば $D < T$ です。

次に、 $P$ を $y$ で微分します。 $(1 + y)^{- t_{k}}$ は、 $u = 1 + y$ と $u^{- t_{k}}$ の合成関数です。連鎖律より $\frac{d}{d y} (1 + y)^{- t_{k}} = - t_{k} (1 + y)^{- t_{k} - 1} \cdot 1$ です。これを各項に使うと、次の式が得られます。
$\frac{d P}{d y} = - \frac{1}{1 + y} k \sum t_{k} \frac{C _{k}}{( 1 + y ) ^{t_{k}}} = - \frac{P D}{1 + y}$
両辺を $- P$ （ $\neq = 0$ ）で割ると、 $D_{mod} = - \frac{1}{P} \frac{d P}{d y} = \frac{D}{1 + y}$ です。

微分係数の意味から、 $y$ の変化 $Δ y$ が小さいときは $\frac{Δ P}{P} \approx - D_{mod} Δ y$ と見積もれます。たとえば $D_{mod} = 5$ の債券は、利回りが $0.01$ 上がると価格がおよそ $5%$ 下がります。受け取りが遠い（ $D$ が大きい）債券ほど割引が強く効くので、金利の変化に敏感になります。

手順

キャッシュフローを書き出す。各時点 $t_{k}$ と受取額 $C_{k}$ を並べる。最終時点の $C_{k}$ には、最後のクーポンに加えて額面も含める。
各キャッシュフローの現在価値 $\frac{C _{k}}{( 1 + y ) ^{t_{k}}}$ を計算する。それらを足して価格 $P$ を求める。
各現在価値に時点 $t_{k}$ を掛けて合計し、 $P$ で割る： $D = \frac{1}{P} \sum_{k} t_{k} \frac{C _{k}}{( 1 + y ) ^{t_{k}}}$ 。
修正デュレーションを $D_{mod} = \frac{D}{1 + y}$ で求める。必要なら $\frac{Δ P}{P} \approx - D_{mod} Δ y$ で価格の変化を見積もる。

例題

額面 100、年 1 回払いのクーポン 10（クーポンレート $10%$ ）、残存期間 2 年の固定利付債がある。最終利回りが $y = 0.1$ のとき、マコーレー・デュレーション $D$ （年）と修正デュレーション $D_{mod}$ を、この順に組 $(D, D_{mod})$ で求めよ。

例題の解答

手順1：受け取りは、 $t_{1} = 1$ に $C_{1} = 10$ 、 $t_{2} = 2$ に $C_{2} = 10 + 100 = 110$ である。

手順2：それぞれの現在価値は次のとおり。
$\frac{10}{1.1} = \frac{100}{11}, \frac{110}{1. 1 ^{2}} = \frac{110}{1.21} = \frac{1000}{11}$
よって $P = \frac{100}{11} + \frac{1000}{11} = 100$ である。クーポンレートと利回りが等しいので、価格は額面に一致する。

手順3：時点を掛けた現在価値の合計は次のとおり。
$k \sum t_{k} \frac{C _{k}}{( 1 + y ) ^{t_{k}}} = 1 \cdot \frac{100}{11} + 2 \cdot \frac{1000}{11} = \frac{2100}{11}$
これを $P = 100$ で割ると、 $D = \frac{21}{11} \approx 1.909$ （年）である。満期の 2 年より少し短い。

手順4：
$D_{mod} = \frac{D}{1 + y} = \frac{21/11}{11/10} = \frac{210}{121} \approx 1.736$
したがって、利回りが $0.01$ 上がると、価格はおよそ $1.74%$ 下がると見積もれる。

答え： $(D, D_{mod}) = (\frac{21}{11}, \frac{210}{121})$

答え: $(\frac{21}{11}, \frac{210}{121})$

よくある誤り

修正デュレーションを $D$ と同じ値としてしまう誤り。連鎖律で $(1 + y)^{- t_{k}}$ を微分すると $- t_{k} (1 + y)^{- t_{k} - 1}$ となり、指数が 1 つ下がるので $\frac{1}{1 + y}$ が余分に出る。正しくは $D_{mod} = \frac{D}{1 + y}$ である（例題では $\frac{21}{11}$ ではなく $\frac{210}{121}$ ）。
重みに、割り引く前の金額 $C_{k}$ を使ってしまう誤り。例題で $\frac{1 \cdot 10 + 2 \cdot 110}{120} = \frac{23}{12}$ と計算するのは誤りである。正しくは、現在価値 $\frac{C _{k}}{( 1 + y ) ^{t_{k}}}$ を重みにして $P$ で割り、 $D = \frac{21}{11}$ となる。
最終時点の受取額に額面を入れ忘れてしまう誤り。例題で $C_{2} = 10$ とするのは誤りである。正しくは $C_{2} = 10 + 100 = 110$ である。額面の現在価値は、デュレーションの大部分を占める。
半年払いの債券で、時点と利回りの単位をそろえずに計算してしまう誤り（たとえば年利回り $y$ と半年ごとの期数 $k$ をそのまま組み合わせる）。半年払いでは、 $y$ を半年複利の名目年利とし、1 期（半年）あたりの利回りを $\frac{y}{2}$ とするのが規約である。正しくは次のように計算する。まず、期数 $k = 1, 2, \dots$ と期利回り $\frac{y}{2}$ を使って $D_{期} = \frac{1}{P} \sum_{k} k \frac{C _{k}}{( 1 + y /2 ) ^{k}}$ を求める。次に、年単位に直して $D_{年} = \frac{D _{期}}{2}$ とする。年利 $y$ に対する修正デュレーションは $D_{mod} = \frac{D _{年}}{1 + y /2}$ である。これは連鎖律 $\frac{d}{d y} (1 + \frac{y}{2})^{- k} = - \frac{k}{2} (1 + \frac{y}{2})^{- k - 1}$ から確かめられる。なお、 $\frac{D _{期}}{1 + y /2}$ も一つの量だが、これは期利回り $\frac{y}{2}$ の変化に対する感応度である。年利 $y$ の変化に対する $D_{mod}$ とは区別すること。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

免疫化（イミュナイゼーション）（大学数学数理ファイナンス・保険数学）