数理ファイナンス・保険数学の問題

ある投資家が、次のキャッシュフローを受け取る貸付債権を保有している。

• $1$ 年後の年末に $110$ 万円
• $2$ 年後の年末に $242$ 万円
• $3$ 年後の年末に $133.1$ 万円

利回りは満期によらず年 $y=10\%$（$1$ 年ごとの複利）で一定とし、すべての割引はこの利回りで行う。この債権の修正デュレーション
$$D_{\mathrm{mod}}=-\frac{1}{P}\frac{dP}{dy}$$
を $y=0.1$ において求めよ（単位は年）。ここで $P$ はこの債権の現在価値である。

ある金融商品は、$1$ 年後の年末と $2$ 年後の年末にそれぞれ $121$ 万円を支払い、それ以外の支払いはない（$2$ 年確定の期末払い年金）。年 $1$ 回複利の利回りを $y=0.1$（年 $10\%$）とし、この商品の価格 $P$ は支払いの現在価値の和 $P={\sum }_k\frac{C_k}{(1+y{)}^{t_k}}$ で与えられるとする。

この商品のマコーレー・デュレーション
$$D=\frac{1}{P}\sum _k{t}_k\frac{C_k}{(1+y{)}^{t_k}}$$
と修正デュレーション
$$D_{\mathrm{mod}}=-\frac{1}{P}\frac{dP}{dy}$$
を（単位は年）、$(D,D_{\mathrm{mod}})$ の順に既約分数で求めよ。

額面 $100$ 円、残存期間 $2$ 年、クーポンレート年 $5\%$ の固定利付債券がある。クーポンは年 $1$ 回、各年末に $5$ 円支払われ、$2$ 年後の満期日には最後のクーポン $5$ 円と額面 $100$ 円が支払われる。

この債券の最終利回り（1 年複利）が年 $5\%$ であるとき、この債券のマコーレー・デュレーション $D$（単位は年）を求めよ。ただし、時刻 $t_k$（年）のキャッシュフローを $C_k$、最終利回りを $y$、債券価格を $P={\sum }_k\frac{C_k}{(1+y{)}^{t_k}}$ として
$$D=\frac{1}{P}\sum _k{t}_k\frac{C_k}{(1+y{)}^{t_k}}$$
とする。答えは既約分数で答えよ。

ある年金基金は、$2$ 年後に $1,210,000$ 円、$5$ 年後に $1,610,510$ 円を支払う義務（負債）を負っている。市場の利回りは満期によらず年 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）で一定とし、すべての割引はこの利回りで行う。

基金は、$1$ 年後に額面を受け取る割引債（ゼロクーポン債）と、$6$ 年後に額面を受け取る割引債の $2$ 種類だけを購入して資産とする。資産の現価が負債の現価に等しく、かつ資産のマコーレー・デュレーションが負債のマコーレー・デュレーションに等しくなるように購入するとき、$1$ 年満期の割引債の額面の合計と $6$ 年満期の割引債の額面の合計（いずれも円）をこの順に組で求めよ。

額面 $100$ 円、残存期間 $3$ 年、クーポンレート年 $10\%$（クーポンは年 $1$ 回、各年末に $10$ 円支払われ、$3$ 年後の満期日には最後のクーポン $10$ 円と額面 $100$ 円が支払われる）の固定利付債券がある。最終利回りは年 $10\%$（1 年複利）とする。

この債券の価格を $P$ とするとき、マコーレー・デュレーション
$$D=\frac{1}{P}\sum _{t=1}^{3}t\cdot \frac{C_t}{(1+y{)}^t}$$
を求めよ。ここで $C_t$ は $t$ 年後のキャッシュフロー、$y=0.1$ は最終利回りであり、$D$ の単位は年とする。