数理ファイナンス・保険数学の問題

額面 $100$ 円、残存期間 $3$ 年、クーポンレート年 $10\%$（クーポンは年 $1$ 回、各年末に $10$ 円支払われ、$3$ 年後の満期日には最後のクーポン $10$ 円と額面 $100$ 円が支払われる）の固定利付債券がある。最終利回りは年 $10\%$（1 年複利）とする。

この債券の価格を $P$ とするとき、マコーレー・デュレーション
$$D=\frac{1}{P}\sum _{t=1}^{3}t\cdot \frac{C_t}{(1+y{)}^t}$$
を求めよ。ここで $C_t$ は $t$ 年後のキャッシュフロー、$y=0.1$ は最終利回りであり、$D$ の単位は年とする。

額面 $100$ 円、クーポンレート年 $5\%$、残存期間 $n$ 年（$n$ は正の整数）の固定利付債券を考える。クーポンは年 $1$ 回、各年末に $5$ 円支払われ、$n$ 年後の満期日には最後のクーポン $5$ 円と額面 $100$ 円が支払われる。この債券の最終利回りは年 $5\%$（$1$ 年ごとの複利）である。

この債券のマコーレー・デュレーション（各キャッシュフローの支払時点〔年〕を、その現在価値の価格に対する割合で重み付けした平均）$D_n$ を、$n$ の式で表せ。

額面 $100$ 円、残存期間 $2$ 年の固定利付債券がある。クーポンは年 $1$ 回、各年末に $10$ 円支払われ、$2$ 年後の満期日には最後のクーポン $10$ 円と額面 $100$ 円が支払われる。この債券の現在の価格は $98.1$ 円である。年 $1$ 回複利の最終利回りを $y$（$y>-1$）とするとき、$y$ の値を分数で求めよ。

額面 $100$ 円、残存期間 $2$ 年、クーポンレート年 $4\%$ の固定利付債券がある。クーポンは年 $1$ 回、各年末に $4$ 円支払われる。$2$ 年後の満期日には、最後のクーポン $4$ 円と額面 $100$ 円が支払われる。この債券の現在の価格は $96$ 円である。

年 $1$ 回複利の最終利回りを $y$（$y>0$ の実数）とする。$y$ は、価格が将来の支払いの現在価値の合計に等しいという関係
$$96=\frac{4}{1+y}+\frac{104}{(1+y{)}^2}$$
を満たす。$y$ を求めよ（根号を含む形で答えよ）。

額面 $100$、残存期間 $3$ 年、クーポン（利札）が年 $1$ 回、各年末に $10$ 支払われる固定利付債がある。$3$ 年後の年末には最後のクーポン $10$ と額面 $100$ が支払われる。

年 1 回複利の最終利回りを $y$（$y>-1$）とするとき、この債券の価格を
$$P(y)=\frac{10}{1+y}+\frac{10}{(1+y{)}^2}+\frac{110}{(1+y{)}^3}$$
で定め、修正デュレーションを
$$D_{\mathrm{mod}}(y)=-\frac{1}{P(y)}\frac{dP}{dy}(y)$$
で定める。$y=0.1$ のときの修正デュレーション $D_{\mathrm{mod}}(0.1)$ を既約分数で求めよ。