数理ファイナンス・保険数学の問題

額面 $100$ 円、残存期間 $2$ 年、クーポンレート年 $10\%$ の固定利付債券がある。クーポンは年 $1$ 回、各年末に $10$ 円支払われる。$2$ 年後の満期日には、最後のクーポン $10$ 円と額面 $100$ 円が支払われる。この債券の現在の価格は $110$ 円である。

年 $1$ 回複利の最終利回りを $y$（$y>-1$）とする。$y$ は、将来受け取るすべての支払いの現価の合計が価格に等しくなるように定める。$y$ の値を求めよ。

額面 $100$ 円、残存期間 $2$ 年、クーポンレート年 $4\%$ の固定利付債券がある。クーポンは年 $1$ 回、各年末に $4$ 円支払われる。$2$ 年後の満期日には、最後のクーポン $4$ 円と額面 $100$ 円が支払われる。この債券の現在の価格は $96$ 円である。

年 $1$ 回複利の最終利回りを $y$（$y>0$ の実数）とする。$y$ は、価格が将来の支払いの現在価値の合計に等しいという関係
$$96=\frac{4}{1+y}+\frac{104}{(1+y{)}^2}$$
を満たす。$y$ を求めよ（根号を含む形で答えよ）。

額面 $100$ 円、残存期間 $3$ 年、クーポンレート年 $10\%$（クーポンは年 $1$ 回、各年末に $10$ 円支払われ、$3$ 年後の満期日には最後のクーポン $10$ 円と額面 $100$ 円が支払われる）の固定利付債券がある。最終利回りは年 $10\%$（1 年複利）とする。

この債券の価格を $P$ とするとき、マコーレー・デュレーション
$$D=\frac{1}{P}\sum _{t=1}^{3}t\cdot \frac{C_t}{(1+y{)}^t}$$
を求めよ。ここで $C_t$ は $t$ 年後のキャッシュフロー、$y=0.1$ は最終利回りであり、$D$ の単位は年とする。

額面 $100$ 円、残存期間 $2$ 年、クーポンレート年 $5\%$ の固定利付債券がある。クーポンは年 $1$ 回、各年末に $5$ 円支払われ、$2$ 年後の満期日には最後のクーポン $5$ 円と額面 $100$ 円が支払われる。

この債券の最終利回り（1 年複利）が年 $5\%$ であるとき、この債券のマコーレー・デュレーション $D$（単位は年）を求めよ。ただし、時刻 $t_k$（年）のキャッシュフローを $C_k$、最終利回りを $y$、債券価格を $P={\sum }_k\frac{C_k}{(1+y{)}^{t_k}}$ として
$$D=\frac{1}{P}\sum _k{t}_k\frac{C_k}{(1+y{)}^{t_k}}$$
とする。答えは既約分数で答えよ。

額面 $100$ 円、クーポンレート年 $5\%$、残存期間 $n$ 年（$n$ は正の整数）の固定利付債券を考える。クーポンは年 $1$ 回、各年末に $5$ 円支払われ、$n$ 年後の満期日には最後のクーポン $5$ 円と額面 $100$ 円が支払われる。この債券の最終利回りは年 $5\%$（$1$ 年ごとの複利）である。

この債券のマコーレー・デュレーション（各キャッシュフローの支払時点〔年〕を、その現在価値の価格に対する割合で重み付けした平均）$D_n$ を、$n$ の式で表せ。