債券の価格と最終利回り

額面・クーポン・残存期間・最終利回り $y$ から固定利付債の価格 $P = \sum_{k} \frac{C _{k}}{( 1 + y ) ^{t_{k}}}$ を求め、価格から最終利回りを求められる

前提

年金現価とローン返済（大学数学数理ファイナンス・保険数学）
2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）

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算数中学高校大学大学院

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説明

固定利付債（毎期一定のクーポン（利息）を受け取り、満期に額面を受け取る債券）について、2 つの計算ができるようになります。1 つは最終利回り $y$ から価格 $P$ を求めること、もう 1 つはその逆に価格から最終利回りを求めることです。最終利回りとは「その価格で買って満期まで持ったときの、1 年あたりの複利の収益率」です。利回りの違う債券どうしを比べるときや、市場の価格から金利の水準を読み取るときに使います。

なぜそうしてよいのか

債券を買うと、将来 $t_{1} < t_{2} < \dots < t_{n}$ 年後（ $t_{k} > 0$ ）に $C_{1}, C_{2}, \dots, C_{n}$ の支払いを受け取れます。最後の支払い $C_{n}$ はクーポンと額面の合計です。複利と現在価値の考え方から、 $t$ 年後の金額 $C$ を年利率 $y$ の複利で割り引いた現在価値は $\frac{C}{( 1 + y ) ^{t}}$ です（ $y > - 1$ ）。そこで「債券の価格＝将来受け取るお金すべての現在価値の合計」として $P = k = 1 \sum n \frac{C _{k}}{( 1 + y ) ^{t_{k}}}$ と書き、この式を満たす $y$ を最終利回りと呼びます。これはローンで「借入額＝返済の現価の合計」とした式と同じ形で、ここでは「支払う価格＝受け取る金額の現価の合計」になっています。

次の条件で評価するとします。クーポンは年 1 回で額 $C$ 、額面は $F$ 、評価する時点はクーポンを受け取った直後、残存期間はちょうど $n$ 年（ $n$ は正の整数）です。このとき支払いは $1, 2, \dots, n$ 年後に $C$ ずつあり、さらに $n$ 年後に $F$ があります。 $v = \frac{1}{1 + y}$ とおくと、クーポン部分は期末払い年金そのものです。 $y \neq = 0$ のとき $P = C a_{n ∣} + F v^{n} = C \cdot \frac{1 - v ^{n}}{y} + \frac{F}{( 1 + y ) ^{n}}$ となります。 $y = 0$ のときは割り引かないので、各 $v^{k} = 1$ です。クーポン部分は $n C$ になり、 $P = n C + F$ です（年金現価の式は $y$ で割るので、そのままでは使えません）。特に $C = y F$ （ $y \neq = 0$ ）のときは $P = y F \cdot \frac{1 - v ^{n}}{y} + F v^{n} = F$ です。つまり、価格が額面に等しい債券（パー債）では、最終利回りはクーポン率 $\frac{C}{F}$ に等しくなります。

利回りがただ 1 つに決まる理由を見ます。すべての $C_{k} > 0$ と仮定します（普通の固定利付債ではクーポンも額面も正です）。このとき $y > - 1$ の範囲では、 $y$ が大きいほど各項の分母 $(1 + y)^{t_{k}}$ が大きくなるので、 $P$ は $y$ について狭義単調減少します。さらに、 $y$ が $- 1$ に近づくと $P$ はいくらでも大きくなり、 $y$ を大きくすると $P$ は $0$ に近づきます。 $P$ は $y$ について途切れずに変わるので、価格 $P > 0$ を 1 つ与えると、それを満たす $y > - 1$ がちょうど 1 つ存在します。逆に価格から利回りを求めるには、 $u = 1 + y$ とおいて $P = \sum \frac{C _{k}}{u ^{t_{k}}}$ を $u$ について解きます。残存 2 年なら、両辺に $u^{2}$ を掛けると 2 次方程式 $P u^{2} - C_{1} u - C_{2} = 0$ になります。 $P > 0, C_{2} > 0$ なら、2 つの解の積 $- \frac{C _{2}}{P}$ は負です。したがって正の解と負の解が 1 つずつあり、 $u = 1 + y > 0$ を満たす正の解が求める答えです。残存期間がもっと長いと方程式の次数が上がります。その場合は、単調減少であることを利用して、 $y$ をいろいろ試しながら近似値を絞り込みます。

手順

支払いの流れ（キャッシュフロー）を書き出す。各時点 $t_{k}$ に受け取る額 $C_{k} (> 0)$ を並べ、最後の時点はクーポン＋額面 $C + F$ とする。
価格を求めるときは、各支払いを $(1 + y)^{t_{k}}$ で割って足す。次の 3 つがそろうときだけ公式が使える：年 1 回払いであること、クーポンを受け取った直後に評価すること、残存がちょうど $n$ 年であること。このとき $y \neq = 0$ なら $P = C \cdot \frac{1 - v ^{n}}{y} + F v^{n} (v = \frac{1}{1 + y})$ 、 $y = 0$ なら $P = n C + F$ となる。条件がそろわない場合は、和 $\sum_{k} \frac{C _{k}}{( 1 + y ) ^{t_{k}}}$ を直接計算する。
利回りを求めるときは、 $u = 1 + y$ とおいて $P = \sum_{k} \frac{C _{k}}{u ^{t_{k}}}$ の分母を払い、 $u$ の方程式にする（残存 2 年なら $P u^{2} - C_{1} u - C_{2} = 0$ ）。
方程式を解き、 $u > 0$ （つまり $y > - 1$ ）を満たす解を選ぶ。 $P > 0$ かつ $C_{k} > 0$ ならこの解はただ 1 つである。2 次方程式なら解の公式を使い、正の解をとる。
$y = u - 1$ を求め、確かめをする。価格が額面より低ければ $y$ はクーポン率より大きく、高ければ小さくなっているはずである。

例題

額面 $100$ 、年 1 回のクーポン $5$ （クーポン率 $5%$ ）、残存期間 $2$ 年の固定利付債がある。ちょうどクーポンを受け取った直後の価格は $95$ である。この債券の最終利回り $y$ （年 1 回複利、 $y > - 1$ ）を求めよ。

例題の解答

【手順 1】キャッシュフローを書き出す。1 年後に $5$ 、2 年後にクーポンと額面の合計 $5 + 100 = 105$ を受け取る。どちらも正である。

【手順 3】 $u = 1 + y$ とおく。価格の式は $95 = \frac{5}{u} + \frac{105}{u ^{2}}$ である。両辺に $u^{2} (> 0)$ を掛けると $95 u^{2} - 5 u - 105 = 0$ となり、両辺を $5$ で割ると $19 u^{2} - u - 21 = 0$ となる。

【手順 4】判別式は $D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 19 \cdot (- 21) = 1 + 1596 = 1597 > 0$ である。解の公式より $u = \frac{1 \pm 1597}{38}$ となる。2 解の積は $- \frac{21}{19} < 0$ なので、片方は負である。 $u = 1 + y > 0$ を満たすのは $u = \frac{1 + 1597}{38}$ だけである。

【手順 5】 $y = u - 1 = \frac{1 + 1597 - 38}{38} = \frac{1597 - 37}{38}$ となる。 $1597 \approx 39.962$ より $y \approx 0.0780$ 、つまり約 $7.80%$ である。価格 $95$ は額面 $100$ より低いので、利回りがクーポン率 $5%$ より大きいことと合っている。実際に $y \approx 0.0780$ を代入すると $\frac{5}{1.0780} + \frac{105}{1.078 0 ^{2}} \approx 4.64 + 90.36 = 95.00$ となり、価格と一致する。

答え: $\frac{1597 - 37}{38}$

よくある誤り

最後の時点で額面だけを割り引き、最後のクーポンを入れ忘れる誤り。たとえば上の例で $95 = \frac{5}{u} + \frac{100}{u ^{2}}$ としてしまう。正しくは、満期にはクーポンと額面の両方を受け取るので $95 = \frac{5}{u} + \frac{105}{u ^{2}}$ である。
割引に使う率をクーポン率にしてしまう誤り。たとえば $P = \frac{5}{1.05} + \frac{105}{1.0 5 ^{2}}$ とすると、いつでも $P = 100$ になってしまう。正しくは、割引には最終利回り $y$ を使い $P = \sum \frac{C _{k}}{( 1 + y ) ^{t_{k}}}$ とする。クーポン率はキャッシュフローの大きさを決めるだけである。
2 次方程式の負の解を採用したり、 $u$ をそのまま利回りとしてしまう誤り。たとえば $u = \frac{1 - 1597}{38} < 0$ をとってしまう。正しくは、 $u = 1 + y > 0$ の解 $u = \frac{1 + 1597}{38}$ を選び、そこから $1$ を引いて $y = u - 1$ とする。
公式 $P = C \cdot \frac{1 - v ^{n}}{y} + F v^{n}$ を条件を確かめずに使う誤り。 $y = 0$ を代入すると $0$ で割ることになり、正しくは $P = n C + F$ （例では $P = 2 \cdot 5 + 100 = 110$ ）である。また、クーポン直後で残存ちょうど $n$ 年という条件がそろわないとき（たとえば次のクーポンが半年後）は、この公式は使えない。その場合は $\sum \frac{C _{k}}{( 1 + y ) ^{t_{k}}}$ を実際の $t_{k}$ で計算する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

マコーレー・デュレーションと修正デュレーション（大学数学数理ファイナンス・保険数学）