数理ファイナンス・保険数学の問題

ある投資案件は、$1$ 年後の年末に $110$ 万円、$2$ 年後の年末に $121$ 万円を受け取るキャッシュフローをもつ（それ以外の受け取りはない）。利回りは年 $y=10\%$（$1$ 年ごとの複利）で、すべての割引はこの利回りで行う。このキャッシュフローの価格を $P$ とするとき、修正デュレーション
$$D_{\mathrm{mod}}=-\frac{1}{P}\frac{dP}{dy}$$
を $y=0.1$ において求めよ。答えは既約分数（単位は年）で答えよ。

ある投資家が、次のキャッシュフローを受け取る貸付債権を保有している。

• $1$ 年後の年末に $110$ 万円
• $2$ 年後の年末に $242$ 万円
• $3$ 年後の年末に $133.1$ 万円

利回りは満期によらず年 $y=10\%$（$1$ 年ごとの複利）で一定とし、すべての割引はこの利回りで行う。この債権の修正デュレーション
$$D_{\mathrm{mod}}=-\frac{1}{P}\frac{dP}{dy}$$
を $y=0.1$ において求めよ（単位は年）。ここで $P$ はこの債権の現在価値である。

額面 $100$ 円、残存期間 $2$ 年、クーポンレート年 $5\%$ の固定利付債券がある。クーポンは年 $1$ 回、各年末に $5$ 円支払われ、$2$ 年後の満期日には最後のクーポン $5$ 円と額面 $100$ 円が支払われる。

この債券の最終利回り（1 年複利）が年 $5\%$ であるとき、この債券のマコーレー・デュレーション $D$（単位は年）を求めよ。ただし、時刻 $t_k$（年）のキャッシュフローを $C_k$、最終利回りを $y$、債券価格を $P={\sum }_k\frac{C_k}{(1+y{)}^{t_k}}$ として
$$D=\frac{1}{P}\sum _k{t}_k\frac{C_k}{(1+y{)}^{t_k}}$$
とする。答えは既約分数で答えよ。

額面 $100$、残存期間 $3$ 年、クーポン（利札）が年 $1$ 回、各年末に $10$ 支払われる固定利付債がある。$3$ 年後の年末には最後のクーポン $10$ と額面 $100$ が支払われる。

年 1 回複利の最終利回りを $y$（$y>-1$）とするとき、この債券の価格を
$$P(y)=\frac{10}{1+y}+\frac{10}{(1+y{)}^2}+\frac{110}{(1+y{)}^3}$$
で定め、修正デュレーションを
$$D_{\mathrm{mod}}(y)=-\frac{1}{P(y)}\frac{dP}{dy}(y)$$
で定める。$y=0.1$ のときの修正デュレーション $D_{\mathrm{mod}}(0.1)$ を既約分数で求めよ。

額面 $100$ 円、残存期間 $3$ 年、クーポンレート年 $10\%$（クーポンは年 $1$ 回、各年末に $10$ 円支払われ、$3$ 年後の満期日には最後のクーポン $10$ 円と額面 $100$ 円が支払われる）の固定利付債券がある。最終利回りは年 $10\%$（1 年複利）とする。

この債券の価格を $P$ とするとき、マコーレー・デュレーション
$$D=\frac{1}{P}\sum _{t=1}^{3}t\cdot \frac{C_t}{(1+y{)}^t}$$
を求めよ。ここで $C_t$ は $t$ 年後のキャッシュフロー、$y=0.1$ は最終利回りであり、$D$ の単位は年とする。