数理ファイナンス・保険数学の問題

ある投資案件は、$1$ 年後の年末に $110$ 万円、$2$ 年後の年末に $121$ 万円を受け取るキャッシュフローをもつ（それ以外の受け取りはない）。利回りは年 $y=10\%$（$1$ 年ごとの複利）で、すべての割引はこの利回りで行う。このキャッシュフローの価格を $P$ とするとき、修正デュレーション
$$D_{\mathrm{mod}}=-\frac{1}{P}\frac{dP}{dy}$$
を $y=0.1$ において求めよ。答えは既約分数（単位は年）で答えよ。

ある金融商品は、$1$ 年後の年末と $2$ 年後の年末にそれぞれ $121$ 万円を支払い、それ以外の支払いはない（$2$ 年確定の期末払い年金）。年 $1$ 回複利の利回りを $y=0.1$（年 $10\%$）とし、この商品の価格 $P$ は支払いの現在価値の和 $P={\sum }_k\frac{C_k}{(1+y{)}^{t_k}}$ で与えられるとする。

この商品のマコーレー・デュレーション
$$D=\frac{1}{P}\sum _k{t}_k\frac{C_k}{(1+y{)}^{t_k}}$$
と修正デュレーション
$$D_{\mathrm{mod}}=-\frac{1}{P}\frac{dP}{dy}$$
を（単位は年）、$(D,D_{\mathrm{mod}})$ の順に既約分数で求めよ。

ある会社は次の $2$ 回の支払い義務（負債）を負っている。

• ちょうど $2$ 年後に $3,630,000$ 円
• ちょうど $4$ 年後に $4,392,300$ 円

市場の利回りは満期によらず年 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）で一定とし、すべての割引はこの利回りで行う。会社は、満期 $1$ 年の割引債（ちょうど $1$ 年後に額面を受け取る）と満期 $5$ 年の割引債（ちょうど $5$ 年後に額面を受け取る）だけを購入して資産とする。資産と負債の現在価値が等しく、かつ資産と負債のマコーレー・デュレーションが等しくなるようにしたい。このとき購入する満期 $1$ 年の割引債の額面の合計と、満期 $5$ 年の割引債の額面の合計（いずれも単位は円）を、この順に組で求めよ。

ある年金基金は、$2$ 年後に $1,210,000$ 円、$5$ 年後に $1,610,510$ 円を支払う義務（負債）を負っている。市場の利回りは満期によらず年 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）で一定とし、すべての割引はこの利回りで行う。

基金は、$1$ 年後に額面を受け取る割引債（ゼロクーポン債）と、$6$ 年後に額面を受け取る割引債の $2$ 種類だけを購入して資産とする。資産の現価が負債の現価に等しく、かつ資産のマコーレー・デュレーションが負債のマコーレー・デュレーションに等しくなるように購入するとき、$1$ 年満期の割引債の額面の合計と $6$ 年満期の割引債の額面の合計（いずれも円）をこの順に組で求めよ。

ある保険会社は、$2$ 年後に $1,210,000$ 円、$4$ 年後に $1,464,100$ 円を支払う義務（負債）を負っている。市場の利回りは満期によらず年 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）で一定とし、すべての割引はこの利回りで行う。

会社は、$1$ 年後に満期を迎える割引債（ゼロクーポン債）と、$5$ 年後に満期を迎える割引債の $2$ 種類だけを購入して資産とする。資産の現在価値と負債の現在価値が等しく、さらに資産のマコーレー・デュレーションと負債のマコーレー・デュレーションが等しくなるようにしたい。

購入する $1$ 年満期の割引債の額面の合計 $X$ 円と、$5$ 年満期の割引債の額面の合計 $Y$ 円を求め、$(X,Y)$ の順に答えよ。