数理ファイナンス・保険数学の問題

ある年金基金は、$2$ 年後に $1,210,000$ 円、$5$ 年後に $1,610,510$ 円を支払う義務（負債）を負っている。市場の利回りは満期によらず年 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）で一定とし、すべての割引はこの利回りで行う。

基金は、$1$ 年後に額面を受け取る割引債（ゼロクーポン債）と、$6$ 年後に額面を受け取る割引債の $2$ 種類だけを購入して資産とする。資産の現価が負債の現価に等しく、かつ資産のマコーレー・デュレーションが負債のマコーレー・デュレーションに等しくなるように購入するとき、$1$ 年満期の割引債の額面の合計と $6$ 年満期の割引債の額面の合計（いずれも円）をこの順に組で求めよ。

ある保険会社は、$2$ 年後に $1,210,000$ 円、$4$ 年後に $1,464,100$ 円を支払う義務（負債）を負っている。市場の利回りは満期によらず年 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）で一定とし、すべての割引はこの利回りで行う。

会社は、$1$ 年後に満期を迎える割引債（ゼロクーポン債）と、$5$ 年後に満期を迎える割引債の $2$ 種類だけを購入して資産とする。資産の現在価値と負債の現在価値が等しく、さらに資産のマコーレー・デュレーションと負債のマコーレー・デュレーションが等しくなるようにしたい。

購入する $1$ 年満期の割引債の額面の合計 $X$ 円と、$5$ 年満期の割引債の額面の合計 $Y$ 円を求め、$(X,Y)$ の順に答えよ。

ある保険会社は、ちょうど $5$ 年後に $3,630,000$ 円を支払う義務（負債）を負っている。市場の利回りは満期によらず年 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）で一定とし、すべての割引はこの利回りで行う。

会社はこの負債を免疫化（イミュニゼーション）するため、次の $2$ 種類の割引債（ゼロクーポン債）を購入する。

• 満期 $3$ 年、額面 $F_3$ 円の割引債
• 満期 $9$ 年、額面 $F_9$ 円の割引債

購入する資産について、次の $2$ つの条件を課す。

$(1)$ 資産の現在価値が負債の現在価値に等しい。

$(2)$ 資産全体のマコーレー・デュレーション（利回り $10\%$ で計算）が負債のマコーレー・デュレーションに等しい。

このとき、額面の組 $(F_3,F_9)$ をこの順に求めよ（単位は円）。

ある投資家が、次のキャッシュフローを受け取る貸付債権を保有している。

• $1$ 年後の年末に $110$ 万円
• $2$ 年後の年末に $242$ 万円
• $3$ 年後の年末に $133.1$ 万円

利回りは満期によらず年 $y=10\%$（$1$ 年ごとの複利）で一定とし、すべての割引はこの利回りで行う。この債権の修正デュレーション
$$D_{\mathrm{mod}}=-\frac{1}{P}\frac{dP}{dy}$$
を $y=0.1$ において求めよ（単位は年）。ここで $P$ はこの債権の現在価値である。

ある投資案件は、$1$ 年後の年末に $110$ 万円、$2$ 年後の年末に $121$ 万円を受け取るキャッシュフローをもつ（それ以外の受け取りはない）。利回りは年 $y=10\%$（$1$ 年ごとの複利）で、すべての割引はこの利回りで行う。このキャッシュフローの価格を $P$ とするとき、修正デュレーション
$$D_{\mathrm{mod}}=-\frac{1}{P}\frac{dP}{dy}$$
を $y=0.1$ において求めよ。答えは既約分数（単位は年）で答えよ。