免疫化（イミュナイゼーション）

資産と負債の現価・デュレーションを一致させる条件の連立方程式を立て、割引債や連続払いの永久債の購入量を求められる

前提

マコーレー・デュレーションと修正デュレーション（大学数学数理ファイナンス・保険数学）
利力と連続払いの現価（大学数学数理ファイナンス・保険数学）

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算数中学高校大学大学院

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利力と連続払いの現価（大学数学数理ファイナンス・保険数学）

説明

免疫化（イミュナイゼーション）は、将来の支払い（負債）に備えて資産を組むときの方法です。金利が少し変わっても「資産の現価 − 負債の現価」がほとんど動かないようにします。そのために、資産と負債の現価を等しくし、さらにデュレーションも等しくします。この 2 条件は未知数について連立 1 次方程式になり、解くと割引債や連続払いの永久年金をどれだけ買えばよいかが決まります。保険会社や年金基金が、決まった時期の支払いに備えて資産を組むときに使います。

なぜそうしてよいのか

利力が一定値 $δ$ のとき、時刻 $t$ の 1 の現価は $v (t) = e^{- δ t}$ です。年利率を $y$ とすると $e^{- δ t} = (1 + y)^{- t}$ なので、 $δ = lo g (1 + y)$ です（以下、記号 $y$ は年利率にだけ使います）。時刻 $t_{k}$ に $C_{k}$ を支払い、さらに時刻 $t$ に支払い率 $ρ (t)$ で連続的に支払うキャッシュフローを考えます。その現価は $P (δ) = \sum_{k} C_{k} e^{- δ t_{k}} + \int ρ (t) e^{- δ t} d t$ です。これを $δ$ で微分すると $P^{'} (δ) = - (\sum_{k} t_{k} C_{k} e^{- δ t_{k}} + \int tρ (t) e^{- δ t} d t)$ となります。よって $- \frac{P ^{'} ( δ )}{P} = \frac{1}{P} (\sum_{k} t_{k} C_{k} v (t_{k}) + \int tρ (t) v (t) d t) = D$ が成り立ち、これはマコーレー・デュレーションそのものです。修正デュレーションとは、 $\frac{d δ}{d y} = \frac{1}{1 + y}$ により $D = (1 + y) D_{mod}$ の関係にあり、前提の技能と矛盾しません。もう一度微分すると $P^{''} (δ) = \sum_{k} t_{k}^{2} C_{k} v (t_{k}) + \int t^{2} ρ (t) v (t) d t$ です。この量を $M$ と書き、キャッシュフローの「2 次モーメント」と呼ぶことにします。各時点の支払いの現価に $t^{2}$ を掛けて足したもので、 $M = P^{''} (δ)$ です。

代表的な 2 つの資産でこれらを計算します。満期 $T$ の割引債（額面 1）は支払いが 1 回だけです。そのため $P = e^{- δ T}$ 、 $D = T$ 、 $M = T^{2} P$ となります。年率 1 の連続払い永久年金では、まず $P = \int_{0}^{\infty} e^{- δ t} d t = \frac{1}{δ}$ です。部分積分により $\int_{0}^{\infty} t e^{- δ t} d t = [- \frac{t}{δ} e^{- δ t}]_{0}^{\infty} + \frac{1}{δ} \int_{0}^{\infty} e^{- δ t} d t = \frac{1}{δ ^{2}}$ なので、 $D = \frac{1/ δ ^{2}}{1/ δ} = \frac{1}{δ}$ です。同様に $\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{- δ t} d t = [- \frac{t ^{2}}{δ} e^{- δ t}]_{0}^{\infty} + \frac{2}{δ} \int_{0}^{\infty} t e^{- δ t} d t = \frac{2}{δ ^{3}}$ となります（ $δ > 0$ なので境界項は $0$ ）。よって $M = \frac{2}{δ ^{3}} = \frac{2}{δ ^{2}} P$ です。

資産の現価を $A (δ)$ 、負債の現価を $L (δ)$ とし、余剰を $S (δ) = A (δ) - L (δ)$ とします。現在の利力 $δ_{0}$ で次の 2 つが成り立つとします。(i) $S (δ_{0}) = 0$ （現価の一致）。(ii) $S^{'} (δ_{0}) = - D_{A} A + D_{L} L = 0$ で、 $A = L$ のもとではこれは $D_{A} = D_{L}$ （デュレーションの一致）と同じです。このとき $S$ の $δ_{0}$ のまわりの 1 次の変化が消えます。さらに $S^{''} (δ_{0}) = M_{A} - M_{L} > 0$ （資産の 2 次モーメントが負債より大きい）であれば、 $S$ は $δ_{0}$ で極小値 $0$ をとります。したがって $δ_{0}$ の近くでは $S (δ) \geq 0$ です（レディントンの条件）。式が 1 次になるのは、資産 $i$ の現価を $A_{i}$ 、デュレーションを $D_{i}$ とすると $- A^{'} = \sum_{i} D_{i} A_{i}$ が成り立つからです。つまり $D_{A} = \frac{\sum _{i} D _{i} A _{i}}{A}$ は現価で重み付けした平均です。そのため条件 (ii) は $\sum_{i} D_{i} A_{i} = D_{L} L$ と書け、これは未知数 $A_{i}$ の 1 次式です。2 次モーメントも同様に $M_{A} = \sum_{i} M_{i}$ と足し合わせられます。

手順

負債の現価 $L$ とデュレーション $D_{L}$ を求める。時刻 $T$ に $C$ を 1 回払うなら $L = C e^{- δ T}$ 、 $D_{L} = T$ である。
各資産の購入量を未知数とし、現価 $A_{i}$ をその未知数で表す。額面 $x$ 、満期 $T_{1}$ の割引債なら $A_{1} = x e^{- δ T_{1}}$ 、支払い率 $r$ の連続払い永久年金なら $A_{2} = \frac{r}{δ}$ である。
各資産のデュレーション $D_{i}$ を求める。割引債は満期 $T_{1}$ 、一定利力のもとでの連続払い永久年金は $\frac{1}{δ}$ である。
現価一致の式 $\sum_{i} A_{i} = L$ と、デュレーション一致の式 $\sum_{i} D_{i} A_{i} = D_{L} L$ を立てる。
連立 1 次方程式を $A_{i}$ について解き、購入量に戻す。額面は $x = A_{1} e^{δ T_{1}}$ 、支払い率は $r = δ A_{2}$ である。
（確認） $A_{i} \geq 0$ であることを確かめる。必要なら 2 次モーメントを比べて $M_{A} > M_{L}$ を確かめる。割引債は $T_{1}^{2} A_{1}$ 、永久年金は $\frac{2}{δ ^{2}} A_{2}$ である。成り立てば $S^{''} (δ_{0}) > 0$ なので、 $δ_{0}$ の近くで $S \geq 0$ となる。

例題

利力は一定で $δ = 0.05$ とする。10 年後に 10000 を支払う負債がある。この負債を 2 つの資産の組合せで免疫化したい。1 つは 5 年後に額面 $x$ が支払われる割引債である。もう 1 つは時刻 0 から永久に年率 $r$ で連続的に支払われる永久年金である。資産と負債の現価およびデュレーションを一致させるとき、組 $(x, r)$ を求めよ。

例題の解答

手順 1：負債の現価は $L = 10000 e^{- 0.5}$ 、デュレーションは $D_{L} = 10$ である。

手順 2：割引債の現価は $A_{1} = x e^{- 0.25}$ 、永久年金の現価は $A_{2} = \frac{r}{0.05} = 20 r$ である。

手順 3：割引債のデュレーションは $D_{1} = 5$ 、永久年金のデュレーションは $D_{2} = \frac{1}{0.05} = 20$ である。

手順 4：現価一致の式は $A_{1} + A_{2} = L$ 、デュレーション一致の式は $5 A_{1} + 20 A_{2} = 10 L$ である。

手順 5：第 2 式から第 1 式の 5 倍を引くと $15 A_{2} = 5 L$ となる。よって $A_{2} = \frac{L}{3}$ 、 $A_{1} = \frac{2 L}{3}$ である。購入量に戻すと次のようになる。
$x = A_{1} e^{0.25} = \frac{20000}{3} e^{- 0.5} e^{0.25} = \frac{20000}{3} e^{- 1/4} \approx 5192$
$r = 0.05 A_{2} = \frac{0.05 \cdot 10000 e ^{- 0.5}}{3} = \frac{500}{3} e^{- 1/2} \approx 101.1$

手順 6：まず $A_{1}, A_{2} > 0$ である。次に 2 次モーメントを比べる。割引債は $5^{2} A_{1} = 25 \cdot \frac{2}{3} L$ である。永久年金は $\frac{2}{0.0 5 ^{2}} A_{2} = 800 \cdot \frac{1}{3} L$ である。合わせて資産は $M_{A} = \frac{50 + 800}{3} L = \frac{850}{3} L \approx 283.3 L$ となる。負債は $M_{L} = 1 0^{2} L = 100 L$ である。 $M_{A} > M_{L}$ より $S^{''} (0.05) > 0$ である。 $S (0.05) = S^{'} (0.05) = 0$ と合わせると、利力が $0.05$ の近くにある限り $S \geq 0$ となる。

答え: $(\frac{20000}{3} e^{- 1/4}, \frac{500}{3} e^{- 1/2})$

よくある誤り

資産全体のデュレーションを単純平均 $\frac{D _{1} + D _{2}}{2} = D_{L}$ としてしまう誤り。正しくは現価で重み付けした $\frac{D _{1} A _{1} + D _{2} A _{2}}{A _{1} + A _{2}} = D_{L}$ を使う。条件は $\sum_{i} D_{i} A_{i} = D_{L} L$ の形になる。
現価ではなく額面や支払い率そのもので式を立て、 $x + r = 10000$ や $5 x + 20 r = 100000$ としてしまう誤り。正しくは現価 $A_{1} = x e^{- 0.25}$ 、 $A_{2} = \frac{r}{δ}$ を使い、 $A_{1} + A_{2} = L$ とする。解いた後に $x = A_{1} e^{δ T_{1}}$ 、 $r = δ A_{2}$ と戻すことも忘れない。
連続払い永久年金のデュレーションを「永久に続くから無限大」とする誤りや、2 次モーメントを $D^{2} P = \frac{1}{δ ^{2}} P$ としてしまう誤り。正しくはデュレーションが $\frac{\int _{0}^{\infty} t e ^{- δ t} d t}{\int _{0}^{\infty} e ^{- δ t} d t} = \frac{1}{δ}$ である。また $\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{- δ t} d t = \frac{2}{δ ^{3}}$ なので、2 次モーメントは $\frac{2}{δ ^{2}} P$ である（ $δ = 0.05$ なら現価あたり $800$ で、 $400$ ではない）。
現価とデュレーションを一致させれば、金利がどれだけ動いても余剰 $S = A - L$ が $0$ 以上になると考えてしまう誤り。正しくは、2 条件で保証されるのは $S (δ_{0}) = 0$ と $S^{'} (δ_{0}) = 0$ だけである。 $δ_{0}$ の近くで $S \geq 0$ を保つには、さらに $S^{''} (δ_{0}) = M_{A} - M_{L} > 0$ が必要である。それでも大きな金利変動には保証がない。また時間とともに条件がずれていくので、組み直し（リバランス）が要る。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

免疫化（イミュナイゼーション）

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題