数理ファイナンス・保険数学の問題

ある保険会社は、$2$ 年後に $1,210,000$ 円、$4$ 年後に $1,464,100$ 円を支払う義務（負債）を負っている。市場の利回りは満期によらず年 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）で一定とし、すべての割引はこの利回りで行う。

会社は、$1$ 年後に満期を迎える割引債（ゼロクーポン債）と、$5$ 年後に満期を迎える割引債の $2$ 種類だけを購入して資産とする。資産の現在価値と負債の現在価値が等しく、さらに資産のマコーレー・デュレーションと負債のマコーレー・デュレーションが等しくなるようにしたい。

購入する $1$ 年満期の割引債の額面の合計 $X$ 円と、$5$ 年満期の割引債の額面の合計 $Y$ 円を求め、$(X,Y)$ の順に答えよ。

ある年金基金は、$2$ 年後に $1,210,000$ 円、$5$ 年後に $1,610,510$ 円を支払う義務（負債）を負っている。市場の利回りは満期によらず年 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）で一定とし、すべての割引はこの利回りで行う。

基金は、$1$ 年後に額面を受け取る割引債（ゼロクーポン債）と、$6$ 年後に額面を受け取る割引債の $2$ 種類だけを購入して資産とする。資産の現価が負債の現価に等しく、かつ資産のマコーレー・デュレーションが負債のマコーレー・デュレーションに等しくなるように購入するとき、$1$ 年満期の割引債の額面の合計と $6$ 年満期の割引債の額面の合計（いずれも円）をこの順に組で求めよ。

ある会社は次の $2$ 回の支払い義務（負債）を負っている。

• ちょうど $2$ 年後に $3,630,000$ 円
• ちょうど $4$ 年後に $4,392,300$ 円

市場の利回りは満期によらず年 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）で一定とし、すべての割引はこの利回りで行う。会社は、満期 $1$ 年の割引債（ちょうど $1$ 年後に額面を受け取る）と満期 $5$ 年の割引債（ちょうど $5$ 年後に額面を受け取る）だけを購入して資産とする。資産と負債の現在価値が等しく、かつ資産と負債のマコーレー・デュレーションが等しくなるようにしたい。このとき購入する満期 $1$ 年の割引債の額面の合計と、満期 $5$ 年の割引債の額面の合計（いずれも単位は円）を、この順に組で求めよ。

ある投資家が、次のキャッシュフローを受け取る貸付債権を保有している。

• $1$ 年後の年末に $110$ 万円
• $2$ 年後の年末に $242$ 万円
• $3$ 年後の年末に $133.1$ 万円

利回りは満期によらず年 $y=10\%$（$1$ 年ごとの複利）で一定とし、すべての割引はこの利回りで行う。この債権の修正デュレーション
$$D_{\mathrm{mod}}=-\frac{1}{P}\frac{dP}{dy}$$
を $y=0.1$ において求めよ（単位は年）。ここで $P$ はこの債権の現在価値である。

額面 $100$ 円、クーポンレート年 $5\%$、残存期間 $n$ 年（$n$ は正の整数）の固定利付債券を考える。クーポンは年 $1$ 回、各年末に $5$ 円支払われ、$n$ 年後の満期日には最後のクーポン $5$ 円と額面 $100$ 円が支払われる。この債券の最終利回りは年 $5\%$（$1$ 年ごとの複利）である。

この債券のマコーレー・デュレーション（各キャッシュフローの支払時点〔年〕を、その現在価値の価格に対する割合で重み付けした平均）$D_n$ を、$n$ の式で表せ。