数理ファイナンス・保険数学の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル証明問題大学数学数理ファイナンス・保険数学

$n$ を $2$ 以上の整数とし、時刻 $0 < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{n}$ にそれぞれ正の金額 $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}$ が支払われる債券を考える。連続複利の利回り $y \in R$ に対して、この債券の価格を
$P (y) = k = 1 \sum n c_{k} e^{- y t_{k}}$
とし、マコーレー・デュレーションを
$D (y) = \frac{1}{P ( y )} k = 1 \sum n t_{k} c_{k} e^{- y t_{k}}$
で定める。このとき、関数 $D : R \to R$ は $R$ 上で狭義単調減少であり、その値域は開区間 $(t_{1}, t_{n})$ に一致することを証明せよ。

ただし、微分可能な関数についての平均値の定理と中間値の定理は用いてよい。

この問題で使うもの

マコーレー・デュレーションと修正デュレーション（説明と入口の問題）
積と商の微分（説明と入口の問題）
指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）
関数の極限（説明と入口の問題）
数列の極限（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（42 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$D (y)$ を、正で和が $1$ になる重み $w_{k} (y) = c_{k} e^{- y t_{k}} / P (y)$ による $t_{k}$ の加重平均とみて、単調性は導関数の符号、値域は加重平均の性質と $y \to \pm \infty$ の極限で調べましょう。

ヒント 2

$P^{'} (y) = - D (y) P (y)$ を使うと $w_{k}^{'} (y) = w_{k} (y) (D (y) - t_{k})$ となり、 $D^{'} (y)$ は重み $w_{k}$ に関する「 $t_{k}$ の分散」にマイナスを付けたもの $- \sum w_{k} (t_{k} - D)^{2}$ になります。

ヒント 3

$D^{'} (y) < 0$ を示したら、次に $D (y) - t_{1} = \sum w_{k} (t_{k} - t_{1})$ などから $t_{1} < D (y) < t_{n}$ を示し、 $y \to + \infty$ では分子・分母を $e^{- y t_{1}}$ で、 $y \to - \infty$ では $e^{- y t_{n}}$ で割って各重みの極限を求めます。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$w_{k} = c_{k} e^{- y t_{k}} / P$ が正で和が $1$ であることを示し、 $D$ を $t_{k}$ の加重平均として表している（1 点）
$P^{'} = - D P$ を用いて $w_{k}^{'} = w_{k} (D - t_{k})$ を導き、 $D^{'} = - \sum w_{k} (t_{k} - D)^{2}$ （または $D^{'} = D^{2} - \sum t_{k}^{2} w_{k}$ とその負値性）を正しく計算している（3 点）
$t_{1} < t_{2}$ から和が $0$ にならないことを述べて $D^{'} < 0$ を示し、平均値の定理などで狭義単調減少を結論している（2 点）
重みが正であることから、すべての $y$ で $t_{1} < D (y) < t_{n}$ （等号なし）を示している（1 点）
分子・分母を $e^{- y t_{1}}$ 、 $e^{- y t_{n}}$ で割るなどして $lim_{y \to + \infty} D = t_{1}$ 、 $lim_{y \to - \infty} D = t_{n}$ を示している（2 点）
連続性と極限・中間値の定理から $(t_{1}, t_{n})$ の各値が実際にとられることを示し、値域が $(t_{1}, t_{n})$ に一致すると結論している（1 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

準備（重みの導入）. $c_{k} > 0$ かつ $e^{- y t_{k}} > 0$ なので、すべての $y \in R$ で $P (y) > 0$ である。そこで
$w_{k} (y) = \frac{c _{k} e ^{- y t_{k}}}{P ( y )} (k = 1, \dots, n)$
とおくと、 $w_{k} (y) > 0$ かつ $\sum_{k = 1}^{n} w_{k} (y) = 1$ であり、
$D (y) = k = 1 \sum n t_{k} w_{k} (y)$
と書ける。すなわち $D (y)$ は、正の重み $w_{k} (y)$ による支払時刻 $t_{k}$ の加重平均である。 $P$ と各分子は $y$ について何回でも微分可能で $P > 0$ だから、 $w_{k}$ と $D$ は $R$ 上で微分可能（特に連続）である。

ステップ 1（ $D^{'} (y)$ の計算）. $P^{'} (y) = - \sum_{j = 1}^{n} t_{j} c_{j} e^{- y t_{j}} = - D (y) P (y)$ である。商の微分法より
$w_{k}^{'} (y) = \frac{- t _{k} c _{k} e ^{- y t_{k}} P ( y ) - c _{k} e ^{- y t_{k}} P ^{'} ( y )}{P ( y ) ^{2}} = \frac{- t _{k} c _{k} e ^{- y t_{k}} P ( y ) + c _{k} e ^{- y t_{k}} D ( y ) P ( y )}{P ( y ) ^{2}} = w_{k} (y) (D (y) - t_{k}) .$
よって（以下 $y$ を省略して書く）
$D^{'} = k = 1 \sum n t_{k} w_{k}^{'} = k = 1 \sum n t_{k} w_{k} (D - t_{k}) = D k = 1 \sum n t_{k} w_{k} - k = 1 \sum n t_{k}^{2} w_{k} = D^{2} - k = 1 \sum n t_{k}^{2} w_{k} .$
一方、 $\sum w_{k} = 1$ と $\sum t_{k} w_{k} = D$ を使うと
$k = 1 \sum n w_{k} (t_{k} - D)^{2} = k = 1 \sum n t_{k}^{2} w_{k} - 2 D k = 1 \sum n t_{k} w_{k} + D^{2} k = 1 \sum n w_{k} = k = 1 \sum n t_{k}^{2} w_{k} - D^{2} .$
したがって
$D^{'} (y) = - k = 1 \sum n w_{k} (y) (t_{k} - D (y))^{2} .$

ステップ 2（狭義単調減少）. 上の和の各項は $w_{k} (y) > 0$ と $(t_{k} - D (y))^{2} \geq 0$ の積なので $0$ 以上である。もし和が $0$ なら、すべての $k$ で $t_{k} = D (y)$ となり、特に $t_{1} = t_{2}$ となるが、これは $t_{1} < t_{2}$ （ $n \geq 2$ なので $t_{2}$ が存在する）に反する。よって和は正で、すべての $y \in R$ で $D^{'} (y) < 0$ である。 $a < b$ とすると、平均値の定理より $D (b) - D (a) = D^{'} (ξ) (b - a)$ となる $ξ \in (a, b)$ があり、 $D^{'} (ξ) < 0$ 、 $b - a > 0$ だから $D (b) < D (a)$ 。よって $D$ は $R$ 上で狭義単調減少である。

ステップ 3（値域が $(t_{1}, t_{n})$ に含まれる）. 任意の $y$ について、 $\sum w_{k} = 1$ より
$D (y) - t_{1} = k = 1 \sum n w_{k} (y) (t_{k} - t_{1}) \geq w_{n} (y) (t_{n} - t_{1}) > 0$
（各項は $t_{k} \geq t_{1}$ より $0$ 以上で、 $k = n$ の項は $w_{n} > 0$ 、 $t_{n} > t_{1}$ より正）。同様に、 $t_{k} \leq t_{n}$ から各項 $w_{k} (t_{n} - t_{k}) \geq 0$ で、 $k = 1$ の項が正なので
$t_{n} - D (y) = k = 1 \sum n w_{k} (y) (t_{n} - t_{k}) \geq w_{1} (y) (t_{n} - t_{1}) > 0.$
よって $D (R) \subset (t_{1}, t_{n})$ 。

ステップ 4（極限）. $y \to + \infty$ のとき：分子と分母を $e^{- y t_{1}}$ で割ると
$w_{k} (y) = \frac{c _{k} e ^{- y (t_{k} - t_{1})}}{c _{1} + \sum _{j = 2}^{n} c _{j} e ^{- y (t_{j} - t_{1})}} .$
$j \geq 2$ では $t_{j} - t_{1} > 0$ なので $e^{- y (t_{j} - t_{1})} \to 0$ 。よって分母 $\to c_{1} > 0$ で、 $w_{1} (y) \to 1$ 、 $k \geq 2$ では $w_{k} (y) \to 0$ 。ゆえに $D (y) = \sum t_{k} w_{k} (y) \to t_{1}$ 。

$y \to - \infty$ のとき：分子と分母を $e^{- y t_{n}}$ で割ると
$w_{k} (y) = \frac{c _{k} e ^{y (t_{n} - t_{k})}}{c _{n} + \sum _{j = 1}^{n - 1} c _{j} e ^{y (t_{n} - t_{j})}} .$
$j \leq n - 1$ では $t_{n} - t_{j} > 0$ なので、 $y \to - \infty$ で $e^{y (t_{n} - t_{j})} \to 0$ 。よって $w_{n} (y) \to 1$ 、 $k \leq n - 1$ では $w_{k} (y) \to 0$ となり、 $D (y) \to t_{n}$ 。

ステップ 5（値域が $(t_{1}, t_{n})$ 全体である）. $s \in (t_{1}, t_{n})$ を任意にとる。ステップ 4 より $lim_{y \to - \infty} D (y) = t_{n} > s$ なので $D (a) > s$ となる $a$ があり、 $lim_{y \to + \infty} D (y) = t_{1} < s$ なので $D (b) < s$ となる $b$ がある。 $D$ は狭義単調減少だから、 $D (a) > s > D (b)$ より $a < b$ である。 $D$ は $[a, b]$ で連続なので、中間値の定理により $D (y_{0}) = s$ となる $y_{0} \in (a, b)$ が存在する。よって $(t_{1}, t_{n}) \subset D (R)$ 。

結論. ステップ 2 より $D$ は $R$ 上で狭義単調減少であり、ステップ 3 と 5 より $D (R) = (t_{1}, t_{n})$ である。（ $D$ は単射でもあるから、各 $s \in (t_{1}, t_{n})$ に対してデュレーションが $s$ となる利回りはちょうど 1 つ存在する。） $■$

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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