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数理ファイナンス・保険数学の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル証明問題大学数学数理ファイナンス・保険数学

$n$ を $2$ 以上の整数とし、 $n$ 個の危険資産の収益率を並べた確率変数ベクトル $R = (R_{1}, \dots, R_{n})^{⊤}$ の分散共分散行列 $Σ$ （ $n$ 次実対称行列）は正定値であるとする。 $1 = (1, \dots, 1)^{⊤} \in R^{n}$ とし、投資比率ベクトル全体の集合を
$W = {w \in R^{n} ∣ 1^{⊤} w = 1}$
とする（空売りを許すので、 $w$ の成分は負でもよい）。 $w \in W$ に対してポートフォリオの収益率を $R_{w} = w^{⊤} R$ とすると、 $u, w \in W$ に対して $Cov (R_{u}, R_{w}) = u^{⊤} Σ w$ 、 $Var (R_{w}) = w^{⊤} Σ w$ である。

$c = 1^{⊤} Σ^{- 1} 1$ 、 $w^{*} = \frac{1}{c} Σ^{- 1} 1$ とおく。このとき $c > 0$ かつ $w^{*} \in W$ であり、さらに次の 2 つが成り立つことを証明せよ。

任意の $w \in W$ に対して $Cov (R_{w}, R_{w^{*}}) = \frac{1}{c}$ であり、かつ $Var (R_{w}) \geq \frac{1}{c}$ で、等号が成り立つのは $w = w^{*}$ のときに限る。

ただし、正定値な実対称行列は正則であり、その逆行列も正定値な実対称行列であることは用いてよい。

この問題で使うもの

最小分散ポートフォリオ（説明と入口の問題）
ポートフォリオの期待収益率と分散（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（88 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず $Σ w^{*}$ を計算してみましょう。それがわかれば共分散はすぐに求まり、分散の不等式は $w = w^{*} + h$ と分けて展開することで示せます。

ヒント 2

$Σ w^{*} = \frac{1}{c} 1$ です。また $w \in W$ なら $h = w - w^{*}$ は $1^{⊤} h = 0$ を満たします。

ヒント 3

$c > 0$ は $Σ^{- 1}$ の正定値性から、 $w^{*} \in W$ は $1^{⊤} w^{*}$ の計算からわかります。次に $w^{⊤} Σ w = (w^{*} + h)^{⊤} Σ (w^{*} + h)$ を展開し、交差項 $h^{⊤} Σ w^{*}$ がどうなるかを調べます。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$Σ^{- 1}$ の正定値性と $1 \neq = 0$ から $c > 0$ を示し、 $1^{⊤} w^{*} = 1$ を確かめて $w^{*} \in W$ としている（2 点）
$Σ w^{*} = \frac{1}{c} 1$ を導き、 $1^{⊤} w = 1$ を使って $Cov (R_{w}, R_{w^{*}}) = 1/ c$ を示している（3 点）
$h = w - w^{*}$ が $1^{⊤} h = 0$ を満たすことを示し、 $Σ$ の対称性を使って $w^{⊤} Σ w$ を展開し、交差項が $0$ になることを示している（3 点）
$Σ$ の正定値性から $h^{⊤} Σ h \geq 0$ と、等号が $h = 0$ のときに限ることを述べ、 $Var (R_{w}) \geq 1/ c$ と等号条件 $w = w^{*}$ を結論している（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

ステップ 1（ $c > 0$ と $w^{*} \in W$ ）. $Σ$ は正定値な実対称行列なので正則であり、 $Σ^{- 1}$ も正定値な実対称行列である（問題文で用いてよいとされた事実）。 $1 \neq = 0$ なので、正定値性の定義から $c = 1^{⊤} Σ^{- 1} 1 > 0$ 。よって $w^{*}$ は定義でき、
$1^{⊤} w^{*} = \frac{1}{c} 1^{⊤} Σ^{- 1} 1 = \frac{c}{c} = 1$
だから $w^{*} \in W$ である。

ステップ 2（共分散が一定であること）. $w^{*}$ の定義より
$Σ w^{*} = \frac{1}{c} Σ Σ^{- 1} 1 = \frac{1}{c} 1 .$
したがって任意の $w \in W$ について、 $1^{⊤} w = w^{⊤} 1 = 1$ を用いて
$Cov (R_{w}, R_{w^{*}}) = w^{⊤} Σ w^{*} = \frac{1}{c} w^{⊤} 1 = \frac{1}{c} .$
特に $w = w^{*}$ （ステップ 1 より $w^{*} \in W$ ）とすると $Var (R_{w^{*}}) = w^{* ⊤} Σ w^{*} = \frac{1}{c}$ である。

ステップ 3（分散の分解）. $w \in W$ を任意にとり、 $h = w - w^{*}$ とおく。 $1^{⊤} h = 1^{⊤} w - 1^{⊤} w^{*} = 1 - 1 = 0$ である。 $Σ$ は対称なので $h^{⊤} Σ w^{*} = w^{* ⊤} Σ h$ であり、
$w^{⊤} Σ w = (w^{*} + h)^{⊤} Σ (w^{*} + h) = w^{* ⊤} Σ w^{*} + 2 h^{⊤} Σ w^{*} + h^{⊤} Σ h .$
ステップ 2 より $Σ w^{*} = \frac{1}{c} 1$ なので $h^{⊤} Σ w^{*} = \frac{1}{c} h^{⊤} 1 = 0$ 。よって
$Var (R_{w}) = w^{⊤} Σ w = \frac{1}{c} + h^{⊤} Σ h .$

ステップ 4（不等式と等号条件）. $Σ$ は正定値なので、 $h^{⊤} Σ h \geq 0$ であり、 $h^{⊤} Σ h = 0$ となるのは $h = 0$ のときに限る（ $h \neq = 0$ なら定義から $h^{⊤} Σ h > 0$ ）。よって $Var (R_{w}) \geq \frac{1}{c}$ であり、等号が成り立つのは $h = 0$ 、すなわち $w = w^{*}$ のときに限る。

結論. $c > 0$ , $w^{*} \in W$ であり、任意の $w \in W$ に対して $Cov (R_{w}, R_{w^{*}}) = \frac{1}{c}$ 、かつ $Var (R_{w}) \geq \frac{1}{c}$ で等号は $w = w^{*}$ のときに限る。すなわち $w^{*}$ は $W$ 上でただ 1 つの最小分散ポートフォリオであり、その分散は $1/ c$ である。 $■$

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