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数理ファイナンス・保険数学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学数理ファイナンス・保険数学

3 つの危険資産 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ がある。1 期間の収益率をそれぞれ確率変数 $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ とし、期待収益率ベクトル $μ$ と分散共分散行列 $Σ$ は次のとおりとする。
$μ = 0.04 0.06 0.10, Σ = \frac{1}{100} 210121012$
投資比率を $w = (w_{1}, w_{2}, w_{3})^{⊤}$ （ $w_{1} + w_{2} + w_{3} = 1$ 、各 $w_{i}$ は実数で、負の値（空売り）も許す）とし、ポートフォリオの収益率を $R_{p} = w_{1} R_{1} + w_{2} R_{2} + w_{3} R_{3}$ とする。期待収益率が $E [R_{p}] = 0.08$ となるポートフォリオの中で、分散 $Var (R_{p})$ の最小値を求めよ。

この問題で使うもの

ポートフォリオの期待収益率と分散（説明と入口の問題）
最小分散ポートフォリオ（説明と入口の問題）
ラグランジュの未定乗数法（説明と入口の問題）
掃き出し法による逆行列（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

制約が 2 つ（比率の和が 1、期待収益率が 0.08）ある 2 次形式の最小化問題として、ラグランジュの未定乗数法を使う。

ヒント 2

停留条件から $w = λ Σ^{- 1} 1 + γ Σ^{- 1} μ$ となる。 $A = 1^{⊤} Σ^{- 1} 1$ 、 $B = 1^{⊤} Σ^{- 1} μ$ 、 $C = μ^{⊤} Σ^{- 1} μ$ を計算し、最小分散が $λ + γ m$ と書けることを使う。

ヒント 3

$Σ^{- 1} = 25 3 - 2 1 - 2 4 - 2 1 - 2 3$ から $A = 100$ 、 $B = 7$ 、 $C = 0.59$ が得られる。次に $100 λ + 7 γ = 1$ 、 $7 λ + 0.59 γ = 0.08$ を解く。

答えと解説

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\frac{11}{1000}

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解説を読む

$Var (R_{p}) = w^{⊤} Σ w$ であり、 $1 = (1, 1, 1)^{⊤}$ とおくと、制約は $w^{⊤} 1 = 1$ 、 $w^{⊤} μ = m$ （ $m = 0.08$ ）である。

$Σ$ が正定値であること $M = 210121012$ の首座小行列式は $2, 3, det M = 2 (4 - 1) - 1 \cdot (2 - 0) = 4$ ですべて正である。よって $Σ = \frac{1}{100} M$ は正定値であり、目的関数は狭義凸になる。制約は 1 次式なので、ラグランジュの未定乗数法で得られる停留点がただ 1 つの最小点である。

逆行列 余因子を計算すると
$M^{- 1} = \frac{1}{4} 3 - 2 1 - 2 4 - 2 1 - 2 3, Σ^{- 1} = 100 M^{- 1} = 25 3 - 2 1 - 2 4 - 2 1 - 2 3 .$

ラグランジュの未定乗数法 $L = \frac{1}{2} w^{⊤} Σ w - λ (w^{⊤} 1 - 1) - γ (w^{⊤} μ - m)$ を $w$ で微分して $0$ とおくと $Σ w = λ 1 + γ μ$ 、すなわち
$w = λ Σ^{- 1} 1 + γ Σ^{- 1} μ .$

ここで
$Σ^{- 1} 1 = 25202 = 50050, Σ^{- 1} μ = 25 0.12 - 0.12 + 0.10 - 0.08 + 0.24 - 0.20 0.04 - 0.12 + 0.30 = 2.5 - 1 5.5$
である。次の 3 つの量を定める。
$A = 1^{⊤} Σ^{- 1} 1 = 100, B = 1^{⊤} Σ^{- 1} μ = 2.5 - 1 + 5.5 = 7,$
$C = μ^{⊤} Σ^{- 1} μ = 0.04 \cdot 2.5 + 0.06 \cdot (- 1) + 0.10 \cdot 5.5 = 0.59.$

乗数を決める 2 つの制約に代入すると
$λ A + γ B = 1, λ B + γ C = m,$
すなわち $100 λ + 7 γ = 1$ 、 $7 λ + 0.59 γ = 0.08$ となる。 $D = A C - B^{2} = 59 - 49 = 10$ より
$λ = \frac{C - B m}{D} = \frac{0.59 - 0.56}{10} = 0.003, γ = \frac{A m - B}{D} = \frac{8 - 7}{10} = 0.1.$

最小分散 $w^{⊤} Σ w = w^{⊤} (λ 1 + γ μ) = λ + γ m$ なので
$Var (R_{p}) = 0.003 + 0.1 \times 0.08 = 0.011 = \frac{11}{1000} .$

検算 $w = 0.003 (50, 0, 50)^{⊤} + 0.1 (2.5, - 1, 5.5)^{⊤} = (0.4, - 0.1, 0.7)^{⊤}$ である。和は $1$ 、期待収益率は $0.016 - 0.006 + 0.07 = 0.08$ で制約を満たす。 $M w = (0.7, 0.9, 1.3)^{⊤}$ より $w^{⊤} M w = 0.28 - 0.09 + 0.91 = 1.1$ となり、 $Var = 0.011$ と一致する。

答え： $\frac{11}{1000}$

別解

最小化する量は $w^{⊤} Σ w$ で、制約は $1^{⊤} w = 1$ と $μ^{⊤} w = 0.08$ である。 $Σ = \frac{1}{100} A$ （ $A = 210121012$ ）とおく。 $μ$ は百分率の単位で $m = (4, 6, 10)^{⊤}$ とし、目標収益率は $r = 8$ とする。

$det A = 4$ であり、 $A^{- 1} = \frac{1}{4} 3 - 2 1 - 2 4 - 2 1 - 2 3$ となる。

$A^{- 1} 1 = (0.5, 0, 0.5)^{⊤}$ なので $a = 1^{⊤} A^{- 1} 1 = 1$ 。
$b = m^{⊤} A^{- 1} 1 = 0.5 \cdot 4 + 0.5 \cdot 10 = 7$ 。
$A^{- 1} m = (2.5, - 1, 5.5)^{⊤}$ なので $c = m^{⊤} A^{- 1} m = 10 - 6 + 55 = 59$ 。
$a c - b^{2} = 59 - 49 = 10$ 。

2 つの等式制約のもとでの最小値は $\frac{a r ^{2} - 2 b r + c}{a c - b ^{2}}$ である。これに代入すると $\frac{64 - 112 + 59}{10} = 1.1$ となる。よって $w^{⊤} A w$ の最小値は $1.1$ 、分散の最小値は $1.1/100 = 0.011$ である。

検算：最適な投資比率は $w = λ A^{- 1} 1 + ν A^{- 1} m$ の形になる。制約から $λ + 7 ν = 1$ 、 $7 λ + 59 ν = 8$ を解くと $ν = 0.1$ 、 $λ = 0.3$ 。したがって $w = (0.4, - 0.1, 0.7)$ となる。
和は $0.4 - 0.1 + 0.7 = 1$ 。期待収益率は $0.016 - 0.006 + 0.07 = 0.08$ 。
$A w = (0.7, 0.9, 1.3)$ より $w^{⊤} A w = 0.28 - 0.09 + 0.91 = 1.1$ で、分散は $0.011$ となり一致する。

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