ポートフォリオの期待収益率と分散

比率 $w_{i}$ と共分散から、ポートフォリオの期待収益率 $\sum w_{i} E (R_{i})$ と分散 $Var (R_{P}) = \sum_{i, j} w_{i} w_{j} Cov (R_{i}, R_{j})$ を求められる

前提

確率変数の共分散と相関係数（大学数学確率・統計）

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算数中学高校大学大学院

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確率変数の共分散と相関係数（大学数学確率・統計）

説明

いくつかの資産（株式・債券など）に資金を比率 $w_{1}, \dots, w_{n}$ で分けて投資したとき、その組み合わせ全体（ポートフォリオ）の収益率 $R_{P}$ の期待値と分散を求めます。必要なのは、個々の資産の期待収益率と共分散だけです。期待収益率は「平均的にどれだけ増えるか」を表します。分散（またはその正の平方根である標準偏差）は「どれだけばらつくか（リスク）」を表します。分散投資でリスクがどれだけ減るかを調べたり、資産の組み合わせを比べたりするときに使います。

なぜそうしてよいのか

まず、ポートフォリオの収益率が各資産の収益率の加重和 $R_{P} = \sum_{i} w_{i} R_{i}$ になることを確かめます。はじめの資金を $W$ （ $W > 0$ ）とし、資産 $i$ に $w_{i} W$ を投じます（ $\sum_{i} w_{i} = 1$ ）。資産 $i$ の収益率が $R_{i}$ なら、期末の資金は $\sum_{i} w_{i} W (1 + R_{i}) = W (1 + \sum_{i} w_{i} R_{i})$ です。よって全体の収益率は $R_{P} = \sum_{i} w_{i} R_{i}$ です。比率の合計が 1 であれば、空売りを表す負の $w_{i}$ があってもこの式は成り立ちます。

$R_{P}$ は確率変数 $R_{i}$ の 1 次式です。したがって期待値の線形性から $E (R_{P}) = \sum_{i} w_{i} E (R_{i})$ となります。分散については、 $μ_{i} = E (R_{i})$ とおくと $R_{P} - E (R_{P}) = \sum_{i} w_{i} (R_{i} - μ_{i})$ です。これを 2 乗して展開すると
$Var (R_{P}) = E (i \sum w_{i} (R_{i} - μ_{i}))^{2} = i \sum j \sum w_{i} w_{j} E [(R_{i} - μ_{i}) (R_{j} - μ_{j})] = i, j \sum w_{i} w_{j} Cov (R_{i}, R_{j})$
となります。これは $V (a X + bY) = a^{2} V (X) + b^{2} V (Y) + 2 ab Cov (X, Y)$ を $n$ 個の変数に広げたものです。 $Cov (R_{i}, R_{i}) = Var (R_{i})$ で、しかも $Cov (R_{i}, R_{j}) = Cov (R_{j}, R_{i})$ です。そのため $i \neq = j$ の項は同じものが 2 回ずつ現れ、
$Var (R_{P}) = i \sum w_{i}^{2} σ_{i}^{2} + 2 i < j \sum w_{i} w_{j} Cov (R_{i}, R_{j})$
と書けます（ $σ_{i}$ は $R_{i}$ の標準偏差）。

相関係数 $ρ_{ij}$ が与えられているときは、 $Cov (R_{i}, R_{j}) = ρ_{ij} σ_{i} σ_{j}$ で共分散に直します。 $w_{i} w_{j} > 0$ かつ $σ_{i} > 0, σ_{j} > 0$ のときを考えます。このとき $ρ_{ij} < 1$ なら、交差項 $2 w_{i} w_{j} ρ_{ij} σ_{i} σ_{j}$ は $ρ_{ij} = 1$ の場合より小さくなります。これが、比率がすべて正の組み合わせで、リスクが個々の標準偏差の加重平均より小さくなりうる理由（分散投資の効果）です。負の比率（空売り）がある場合は $w_{i} w_{j} < 0$ の組ができ、交差項の大小関係は逆になることに注意します。

手順

比率 $w_{i}$ を確認する。合計が $\sum_{i} w_{i} = 1$ になっているかを見る。百分率は小数に直してそろえる（例: $20% \to 0.2$ ）。
期待収益率を計算する: $E (R_{P}) = \sum_{i} w_{i} E (R_{i})$ 。
共分散をそろえる。相関係数が与えられていれば $Cov (R_{i}, R_{j}) = ρ_{ij} σ_{i} σ_{j}$ とし、分散は $Cov (R_{i}, R_{i}) = σ_{i}^{2}$ とする。
分散を計算する: $Var (R_{P}) = \sum_{i} w_{i}^{2} σ_{i}^{2} + 2 \sum_{i < j} w_{i} w_{j} Cov (R_{i}, R_{j})$ 。2 資産なら $w_{1}^{2} σ_{1}^{2} + w_{2}^{2} σ_{2}^{2} + 2 w_{1} w_{2} Cov (R_{1}, R_{2})$ 。
必要なら標準偏差 $σ_{P} = Var (R_{P})$ を求める。

例題

資産 1 の収益率 $R_{1}$ は期待値 $0.08$ 、標準偏差 $0.2$ です。資産 2 の収益率 $R_{2}$ は期待値 $0.12$ 、標準偏差 $0.3$ です。 $R_{1}$ と $R_{2}$ の相関係数は $0.5$ です。資金の比率を $w_{1} = 0.6, w_{2} = 0.4$ として投資したポートフォリオについて、収益率 $R_{P}$ の期待値 $E (R_{P})$ と分散 $Var (R_{P})$ を、この順に組で求めよ。

例題の解答

手順 1: $w_{1} + w_{2} = 0.6 + 0.4 = 1$ なので、比率の合計は 1 になっている。値はすべて小数で与えられている。

手順 2: $E (R_{P}) = 0.6 \times 0.08 + 0.4 \times 0.12 = 0.048 + 0.048 = 0.096$ 。

手順 3: $σ_{1}^{2} = 0. 2^{2} = 0.04$ 、 $σ_{2}^{2} = 0. 3^{2} = 0.09$ 。共分散は $Cov (R_{1}, R_{2}) = 0.5 \times 0.2 \times 0.3 = 0.03$ 。

手順 4: 各項を計算すると、 $0. 6^{2} \times 0.04 = 0.0144$ 、 $0. 4^{2} \times 0.09 = 0.0144$ 、 $2 \times 0.6 \times 0.4 \times 0.03 = 0.0144$ 。よって $Var (R_{P}) = 0.0144 + 0.0144 + 0.0144 = 0.0432$ 。

（参考: 手順 5 で $σ_{P} = 0.0432 \approx 0.208$ となる。これは各資産の標準偏差の加重平均 $0.6 \times 0.2 + 0.4 \times 0.3 = 0.24$ より小さく、分散投資の効果が表れている。）

よって $(E (R_{P}), Var (R_{P})) = (0.096, 0.0432)$ 。

答え: $(0.096, 0.0432)$

よくある誤り

共分散の項を落として $Var (R_{P}) = \sum_{i} w_{i}^{2} σ_{i}^{2}$ としてしまう誤り。この式は、すべての共分散が 0（どの 2 資産も無相関）なら正しいが、一般には交差項を落とせない。正しくは $+ 2 \sum_{i < j} w_{i} w_{j} Cov (R_{i}, R_{j})$ を加える。例題でこの誤りをすると $0.0288$ になるが、正しくは $0.0432$ 。
交差項の係数を間違える誤り。係数 2 を忘れることもあれば、二重和 $\sum_{i, j}$ ですでに $i \neq = j$ の項を 2 回数えているのに、さらに 2 倍してしまうこともある。正しくは、2 資産なら $w_{1}^{2} σ_{1}^{2} + w_{2}^{2} σ_{2}^{2} + 2 w_{1} w_{2} Cov (R_{1}, R_{2})$ のように、交差項はちょうど 2 倍。
比率を 2 乗せずに扱ってしまう誤り。例えば $Var (R_{P}) = \sum_{i} w_{i} σ_{i}^{2}$ としたり、標準偏差を $σ_{P} = \sum_{i} w_{i} σ_{i}$ と加重平均したりする。正しくは、分散には $w_{i}^{2}$ がかかる。また $σ_{P} = \sum_{i} w_{i} σ_{i}$ は一般には成り立たない。成り立つのは、比率がすべて 0 以上で、比率が正の資産どうしの相関係数がすべて 1 である場合などに限った特別な状況である。例題では $σ_{P} \approx 0.208$ で、 $0.24$ ではない。
百分率と小数を混ぜて計算してしまう誤り（例: $σ = 20%$ から $σ^{2} = 400$ とし、期待値は $0.08$ のまま使う）。正しくは、すべて小数（ $σ^{2} = 0.04$ ）か、すべて百分率にそろえる。共分散 $ρ σ_{1} σ_{2}$ を出すときも単位をそろえる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

最小分散ポートフォリオ（大学数学数理ファイナンス・保険数学）