この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

数理ファイナンス・保険数学の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学数理ファイナンス・保険数学

ある投資家が、2 つの危険資産 $A$ , $B$ に合計 $1000$ 万円を投資する。資産 $A$ に $600$ 万円、資産 $B$ に $400$ 万円を投資し、空売りや借入れは行わない。1 期間の収益率をそれぞれ確率変数 $R_{A}$ , $R_{B}$ とし、
$E (R_{A}) = 0.06, E (R_{B}) = 0.14,$
$σ_{A} = V (R_{A}) = 0.1, σ_{B} = V (R_{B}) = 0.2, ρ_{A B} = 0.5$
とする。ここで $ρ_{A B}$ は $R_{A}$ と $R_{B}$ の相関係数である。このポートフォリオの収益率を $R_{P}$ とするとき、期待収益率 $E (R_{P})$ と分散 $V (R_{P})$ をこの順に組で求めよ。

この問題で使うもの

ポートフォリオの期待収益率と分散（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（63 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「ポートフォリオの期待収益率と分散」を使う。まず投資額から各資産の比率 $w_{A}$ , $w_{B}$ を求めよう。

ヒント 2

期待収益率は $w_{A} E (R_{A}) + w_{B} E (R_{B})$ 、分散は $w_{A}^{2} V (R_{A}) + w_{B}^{2} V (R_{B}) + 2 w_{A} w_{B} Cov (R_{A}, R_{B})$ 。共分散は $ρ_{A B} σ_{A} σ_{B}$ で求まる。

ヒント 3

$w_{A} = 0.6$ , $w_{B} = 0.4$ , $Cov (R_{A}, R_{B}) = 0.01$ , $V (R_{A}) = 0.01$ , $V (R_{B}) = 0.04$ である。あとは代入して計算する。

答えと解説

答えを見る

(0.092, 0.0148)

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

手順 1：投資比率を求める。 投資総額 $1000$ 万円に対する比率は
$w_{A} = \frac{600}{1000} = 0.6, w_{B} = \frac{400}{1000} = 0.4$
で、 $w_{A} + w_{B} = 1$ である。ポートフォリオの収益率は $R_{P} = w_{A} R_{A} + w_{B} R_{B} = 0.6 R_{A} + 0.4 R_{B}$ と表される。

手順 2：期待収益率を求める。 期待値の線形性 $E (a X + bY) = a E (X) + b E (Y)$ より
$E (R_{P}) = w_{A} E (R_{A}) + w_{B} E (R_{B}) = 0.6 \times 0.06 + 0.4 \times 0.14 = 0.036 + 0.056 = 0.092.$

手順 3：共分散を求める。 相関係数の定義 $ρ_{A B} = \frac{Cov ( R _{A} , R _{B} )}{σ _{A} σ _{B}}$ より
$Cov (R_{A}, R_{B}) = ρ_{A B} σ_{A} σ_{B} = 0.5 \times 0.1 \times 0.2 = 0.01.$
また $V (R_{A}) = 0. 1^{2} = 0.01$ , $V (R_{B}) = 0. 2^{2} = 0.04$ である。

手順 4：分散を求める。 $Var (R_{P}) = \sum_{i, j} w_{i} w_{j} Cov (R_{i}, R_{j})$ を 2 資産で書き下すと
$V (R_{P}) = w_{A}^{2} V (R_{A}) + w_{B}^{2} V (R_{B}) + 2 w_{A} w_{B} Cov (R_{A}, R_{B}) .$
数値を代入して
$V (R_{P}) = 0.36 \times 0.01 + 0.16 \times 0.04 + 2 \times 0.6 \times 0.4 \times 0.01 = 0.0036 + 0.0064 + 0.0048 = 0.0148.$

よって $(E (R_{P}), V (R_{P})) = (0.092, 0.0148)$ である。

別解

投資比率は $w_{A} = 0.6$ , $w_{B} = 0.4$ （合計 1000 万円に対して 600 万円と 400 万円）。

期待収益率:
$E (R_{P}) = w_{A} E (R_{A}) + w_{B} E (R_{B}) = 0.6 \times 0.06 + 0.4 \times 0.14 = 0.036 + 0.056 = 0.092$ 。

分散:
$V (R_{P}) = w_{A}^{2} σ_{A}^{2} + w_{B}^{2} σ_{B}^{2} + 2 w_{A} w_{B} ρ_{A B} σ_{A} σ_{B}$
- $w_{A}^{2} σ_{A}^{2} = 0.36 \times 0.01 = 0.0036$
- $w_{B}^{2} σ_{B}^{2} = 0.16 \times 0.04 = 0.0064$
- $2 w_{A} w_{B} ρ σ_{A} σ_{B} = 2 \times 0.6 \times 0.4 \times 0.5 \times 0.1 \times 0.2 = 0.48 \times 0.5 \times 0.02 = 0.0048$

合計は $0.0036 + 0.0064 + 0.0048 = 0.0148$ 。

検算: 共分散 $= 0.5 \times 0.1 \times 0.2 = 0.01$ 。 $0.0036 + 0.0064 + 2 \times 0.24 \times 0.01 = 0.01 + 0.0048 = 0.0148$ 。一致する。

よって $(E (R_{P}), V (R_{P})) = (0.092, 0.0148)$ 。

数理ファイナンス・保険数学の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題