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数理ファイナンス・保険数学の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学数理ファイナンス・保険数学

2 つの危険資産 $A$ , $B$ があり、1 期間の収益率をそれぞれ確率変数 $R_{1}, R_{2}$ とする。これらの分散・共分散は次のとおりである。
$Var (R_{1}) = 0.04, Var (R_{2}) = 0.16, Cov (R_{1}, R_{2}) = 0.02$
資金のうち比率 $w_{1}$ を $A$ に、比率 $w_{2}$ を $B$ に投資するポートフォリオを考え、その収益率を $R_{P} = w_{1} R_{1} + w_{2} R_{2}$ とする。ただし $w_{1}, w_{2}$ は $w_{1} + w_{2} = 1$ を満たす実数とする（空売りも許す）。 $Var (R_{P})$ を最小にする比率 $w_{1}, w_{2}$ を求め、組 $(w_{1}, w_{2})$ の形で答えよ。

この問題で使うもの

最小分散ポートフォリオ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（88 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

最小分散ポートフォリオの技能を使います。 $Var (R_{P})$ を $w_{1}, w_{2}$ の式で書き、条件 $w_{1} + w_{2} = 1$ のもとでラグランジュの未定乗数法を使いましょう。

ヒント 2

$L = 0.04 w_{1}^{2} + 0.16 w_{2}^{2} + 0.04 w_{1} w_{2} - λ (w_{1} + w_{2} - 1)$ とおき、 $\partial L / \partial w_{1} = 0$ , $\partial L / \partial w_{2} = 0$ から $λ$ を消去します（ $w \propto Σ^{- 1} 1$ と同じことです）。

ヒント 3

2 つの式から $0.08 w_{1} + 0.04 w_{2} = 0.04 w_{1} + 0.32 w_{2}$ 、つまり $w_{1} = 7 w_{2}$ が得られます。あとは $w_{1} + w_{2} = 1$ を使いましょう。

答えと解説

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(\frac{7}{8}, \frac{1}{8})

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解説を読む

ステップ 1：分散を比率で表す。
$Var (R_{P}) = w_{1}^{2} Var (R_{1}) + w_{2}^{2} Var (R_{2}) + 2 w_{1} w_{2} Cov (R_{1}, R_{2}) = 0.04 w_{1}^{2} + 0.16 w_{2}^{2} + 0.04 w_{1} w_{2}$

ステップ 2：ラグランジュの未定乗数法。 条件 $w_{1} + w_{2} = 1$ のもとで最小化するので
$L = 0.04 w_{1}^{2} + 0.16 w_{2}^{2} + 0.04 w_{1} w_{2} - λ (w_{1} + w_{2} - 1)$
とおき、偏微分を $0$ とする。
$\frac{\partial L}{\partial w _{1}} = 0.08 w_{1} + 0.04 w_{2} - λ = 0 (1)$
$\frac{\partial L}{\partial w _{2}} = 0.04 w_{1} + 0.32 w_{2} - λ = 0 (2)$
$(1)$ , $(2)$ から $λ$ を消去すると
$0.08 w_{1} + 0.04 w_{2} = 0.04 w_{1} + 0.32 w_{2} ⟹ 0.04 w_{1} = 0.28 w_{2} ⟹ w_{1} = 7 w_{2}$

（これは $w \propto Σ^{- 1} 1$ と一致する。実際 $Σ = (0.04 0.02 0.02 0.16)$ の逆行列は $\frac{1}{0.006} (0.16 - 0.02 - 0.02 0.04)$ で、 $Σ^{- 1} 1 \propto (0.14, 0.02) \propto (7, 1)$ 。）

ステップ 3：条件で正規化する。 $w_{1} + w_{2} = 1$ に $w_{1} = 7 w_{2}$ を代入して $8 w_{2} = 1$ 、よって
$w_{2} = \frac{1}{8}, w_{1} = \frac{7}{8}$

ステップ 4：最小であることの確認。 $w_{2} = 1 - w_{1}$ を代入すると
$Var (R_{P}) = 0.04 w_{1}^{2} + 0.16 (1 - w_{1})^{2} + 0.04 w_{1} (1 - w_{1}) = 0.16 w_{1}^{2} - 0.28 w_{1} + 0.16$
で、 $w_{1}^{2}$ の係数が正の 2 次関数なので、停留点 $w_{1} = \frac{0.28}{0.32} = \frac{7}{8}$ で最小となる。このとき最小分散は $0.16 \cdot \frac{49}{64} - 0.28 \cdot \frac{7}{8} + 0.16 = 0.1225 - 0.245 + 0.16 = 0.0375$ である。

したがって答えは $(w_{1}, w_{2}) = (\frac{7}{8}, \frac{1}{8})$ 。

別解

$w_{2} = 1 - w_{1}$ とおくと、 $Var (R_{P}) = 0.04 w_{1}^{2} + 0.16 (1 - w_{1})^{2} + 2 \cdot 0.02 w_{1} (1 - w_{1})$ 。
展開すると $0.04 w_{1}^{2} + 0.16 - 0.32 w_{1} + 0.16 w_{1}^{2} + 0.04 w_{1} - 0.04 w_{1}^{2} = 0.16 w_{1}^{2} - 0.28 w_{1} + 0.16$ 。
微分して $0.32 w_{1} - 0.28 = 0$ より $w_{1} = 0.875 = \frac{7}{8}$ 。2 次の係数が正なのでこれが最小を与える。このとき $w_{2} = \frac{1}{8}$ 。
検算：公式 $w_{1} = \frac{σ _{2}^{2} - σ _{12}}{σ _{1}^{2} + σ _{2}^{2} - 2 σ _{12}} = \frac{0.16 - 0.02}{0.04 + 0.16 - 0.04} = \frac{0.14}{0.16} = \frac{7}{8}$ で一致する。最小分散は $0.16 \cdot \frac{49}{64} - 0.28 \cdot \frac{7}{8} + 0.16 = 0.1225 - 0.245 + 0.16 = 0.0375$ 。

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