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数理ファイナンス・保険数学の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学数理ファイナンス・保険数学

2 つの危険資産 $X$ , $Y$ があり、1 期間の収益率をそれぞれ確率変数 $R_{1}$ , $R_{2}$ とする。これらの分散と共分散は次のとおりである。
$Var (R_{1}) = 0.04, Var (R_{2}) = 0.09, Cov (R_{1}, R_{2}) = 0.02$
資金を比率 $w_{1}$ , $w_{2}$ （ $w_{1} + w_{2} = 1$ , $w_{1}, w_{2}$ は実数で空売りも許す）で $X$ , $Y$ に配分したポートフォリオの収益率を $R_{P} = w_{1} R_{1} + w_{2} R_{2}$ とする。 $Var (R_{P})$ を最小にする比率 $w_{1}$ , $w_{2}$ を、ラグランジュの未定乗数法を用いて求め、組 $(w_{1}, w_{2})$ の形で答えよ。

この問題で使うもの

最小分散ポートフォリオ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（88 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「最小分散ポートフォリオ」を使う。 $Var (R_{P})$ を $w_{1}, w_{2}$ の 2 次式で表し、条件 $w_{1} + w_{2} = 1$ のもとでラグランジュの未定乗数法を適用する。

ヒント 2

$Var (R_{P}) = 0.04 w_{1}^{2} + 0.04 w_{1} w_{2} + 0.09 w_{2}^{2}$ とし、 $L = Var (R_{P}) - λ (w_{1} + w_{2} - 1)$ を $w_{1}$ , $w_{2}$ で偏微分して 0 とおく。これは $Σ w \propto 1$ の形になる。

ヒント 3

偏微分の式は $0.08 w_{1} + 0.04 w_{2} = λ$ , $0.04 w_{1} + 0.18 w_{2} = λ$ 。 $λ$ を消去すると $w_{1} = \frac{7}{2} w_{2}$ が得られるので、あとは $w_{1} + w_{2} = 1$ と連立する。

答えと解説

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(\frac{7}{9}, \frac{2}{9})

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解説を読む

手順 1：分散を比率の式で書く。
ポートフォリオの分散は
$f (w_{1}, w_{2}) = Var (R_{P}) = 0.04 w_{1}^{2} + 2 \cdot 0.02 w_{1} w_{2} + 0.09 w_{2}^{2} = 0.04 w_{1}^{2} + 0.04 w_{1} w_{2} + 0.09 w_{2}^{2}$
である。条件は $g (w_{1}, w_{2}) = w_{1} + w_{2} - 1 = 0$ である。

手順 2：ラグランジュ関数を作り偏微分する。
$L = 0.04 w_{1}^{2} + 0.04 w_{1} w_{2} + 0.09 w_{2}^{2} - λ (w_{1} + w_{2} - 1)$
とおくと
$\frac{\partial L}{\partial w _{1}} = 0.08 w_{1} + 0.04 w_{2} - λ = 0, \frac{\partial L}{\partial w _{2}} = 0.04 w_{1} + 0.18 w_{2} - λ = 0$
これは $Σ w = \frac{λ}{2} 1$ （ $Σ$ は分散共分散行列）という形であり、 $w \propto Σ^{- 1} 1$ を意味する。

手順 3：連立方程式を解く。
2 式から $λ$ を消去すると
$0.08 w_{1} + 0.04 w_{2} = 0.04 w_{1} + 0.18 w_{2} ⟹ 0.04 w_{1} = 0.14 w_{2} ⟹ w_{1} = \frac{7}{2} w_{2}$
これを $w_{1} + w_{2} = 1$ に代入すると $\frac{9}{2} w_{2} = 1$ より $w_{2} = \frac{2}{9}$ 、 $w_{1} = \frac{7}{9}$ 。

（別の見方： $Σ = (0.04 0.02 0.02 0.09)$ の逆行列は $\frac{1}{0.0032} (0.09 - 0.02 - 0.02 0.04)$ なので、 $Σ^{- 1} 1 \propto (0.07, 0.02)$ 。和が 1 になるよう割ると $(7/9, 2/9)$ となり一致する。）

手順 4：最小であることの確認。
$w_{2} = 1 - w_{1}$ を代入すると $f = 0.04 w_{1}^{2} + 0.04 w_{1} (1 - w_{1}) + 0.09 (1 - w_{1})^{2} = 0.09 w_{1}^{2} - 0.14 w_{1} + 0.09$ となり、 $w_{1}^{2}$ の係数 $0.09 > 0$ の下に凸な 2 次関数なので、停留点 $w_{1} = \frac{0.14}{0.18} = \frac{7}{9}$ で最小になる。

よって $(w_{1}, w_{2}) = (\frac{7}{9}, \frac{2}{9})$ 。

別解

$Var (R_{P}) = 0.04 w_{1}^{2} + 0.09 w_{2}^{2} + 2 \cdot 0.02 w_{1} w_{2} = 0.04 w_{1}^{2} + 0.09 w_{2}^{2} + 0.04 w_{1} w_{2}$ 。制約は $w_{1} + w_{2} = 1$ 。

ラグランジュ関数 $L = 0.04 w_{1}^{2} + 0.09 w_{2}^{2} + 0.04 w_{1} w_{2} - λ (w_{1} + w_{2} - 1)$ とおく。

$\partial L / \partial w_{1} = 0.08 w_{1} + 0.04 w_{2} - λ = 0$
$\partial L / \partial w_{2} = 0.18 w_{2} + 0.04 w_{1} - λ = 0$

2式の差から $0.08 w_{1} + 0.04 w_{2} = 0.18 w_{2} + 0.04 w_{1}$ 、すなわち $0.04 w_{1} = 0.14 w_{2}$ 、 $w_{1} = 3.5 w_{2} = \frac{7}{2} w_{2}$ 。

$w_{1} + w_{2} = 1$ より $\frac{9}{2} w_{2} = 1$ 、 $w_{2} = \frac{2}{9}$ 、 $w_{1} = \frac{7}{9}$ 。

最小性の確認: 分散は $w$ の2次形式で、行列 $(0.04 0.02 0.02 0.09)$ は正定値（ $0.04 > 0$ 、行列式 $0.0036 - 0.0004 = 0.0032 > 0$ ）なので凸であり、この停留点は最小点である。

検算: $w_{2} = 1 - w_{1}$ として $f (w_{1}) = 0.04 w_{1}^{2} + 0.09 (1 - w_{1})^{2} + 0.04 w_{1} (1 - w_{1})$ 。 $f^{'} = 0.08 w_{1} - 0.18 (1 - w_{1}) + 0.04 - 0.08 w_{1} = - 0.18 + 0.18 w_{1} + 0.04 - 0.04 \cdot 0 \dots$ を整理すると、 $f^{'} = 0.08 w_{1} - 0.18 + 0.18 w_{1} + 0.04 - 0.08 w_{1} = 0.18 w_{1} - 0.14$ 。これが0になるのは $w_{1} = \frac{7}{9}$ で一致する。

最小分散は $\frac{0.04 \cdot 0.09 - 0.0 2 ^{2}}{0.04 + 0.09 - 0.04} = \frac{0.0032}{0.09} = \frac{8}{225}$ である。

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