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数理ファイナンス・保険数学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学数理ファイナンス・保険数学

3 つの危険資産 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ があり、1 期間の収益率をそれぞれ確率変数 $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ とする。これらの分散・共分散は次のとおりである。
$Var (R_{1}) = 0.04, Var (R_{2}) = 0.09, Var (R_{3}) = 0.06,$
$Cov (R_{1}, R_{2}) = 0.02, Cov (R_{1}, R_{3}) = 0, Cov (R_{2}, R_{3}) = 0.$
資金を 3 資産に比率 $w_{1}, w_{2}, w_{3}$ （実数、 $w_{1} + w_{2} + w_{3} = 1$ ）で配分したポートフォリオの収益率は $R_{P} = w_{1} R_{1} + w_{2} R_{2} + w_{3} R_{3}$ である。空売りは自由に行えるものとし（ $w_{i}$ は負でもよい）、 $Var (R_{P})$ を最小にする比率の組 $(w_{1}, w_{2}, w_{3})$ をこの順に求めよ。

この問題で使うもの

最小分散ポートフォリオ（説明と入口の問題）
ポートフォリオの期待収益率と分散（説明と入口の問題）
ラグランジュの未定乗数法（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（88 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$Var (R_{P}) = w^{T} Σ w$ を、制約 $w_{1} + w_{2} + w_{3} = 1$ のもとでラグランジュの未定乗数法で最小化しよう。

ヒント 2

最適条件は $Σ w = μ 1$ 、つまり $w \propto Σ^{- 1} 1$ である。 $A_{3}$ は他と無相関なので、 $2 \times 2$ の部分と $1 \times 1$ の部分に分けて解ける。

ヒント 3

共分散を 100 倍した式で $4 w_{1} + 2 w_{2} = 2 w_{1} + 9 w_{2} = 6 w_{3}$ が成り立つ。 $w_{1} : w_{2} : w_{3} = \frac{7}{32} : \frac{2}{32} : \frac{1}{6}$ を、和が 1 になるように正規化しよう。

答えと解説

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(\frac{21}{43}, \frac{6}{43}, \frac{16}{43})

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解説を読む

共分散行列を $Σ$ 、比率のベクトルを $w = (w_{1}, w_{2}, w_{3})^{T}$ 、 $1 = (1, 1, 1)^{T}$ とすると
$Var (R_{P}) = w^{T} Σ w, Σ = \frac{1}{100} 420290006$
である。制約 $1^{T} w = 1$ のもとでこれを最小化する。

ラグランジュの未定乗数法. $L = w^{T} Σ w - 2 μ (1^{T} w - 1)$ とおき、 $w$ で偏微分して $0$ とおくと
$Σ w = μ 1 .$
$Σ$ は正定値（左上の $2 \times 2$ 小行列の行列式 $4 \cdot 9 - 2^{2} = 32 > 0$ 、対角成分正）なので、 $Var (R_{P})$ は狭義凸であり、この条件を満たす点が最小点である。

成分で書くと（ $λ = 100 μ$ とおく）
$4 w_{1} + 2 w_{2} = λ (1)$
$2 w_{1} + 9 w_{2} = λ (2)$
$6 w_{3} = λ (3)$

$(1) - (2)$ より $2 w_{1} - 7 w_{2} = 0$ 、すなわち $w_{1} = \frac{7}{2} w_{2}$ 。これを $(1)$ に代入すると $14 w_{2} + 2 w_{2} = λ$ より $w_{2} = \frac{λ}{16}$ 、 $w_{1} = \frac{7 λ}{32}$ 。 $(3)$ より $w_{3} = \frac{λ}{6}$ 。

制約 $w_{1} + w_{2} + w_{3} = 1$ に代入すると
$λ (\frac{7}{32} + \frac{2}{32} + \frac{1}{6}) = λ (\frac{27}{96} + \frac{16}{96}) = \frac{43}{96} λ = 1$
より $λ = \frac{96}{43}$ 。したがって
$w_{1} = \frac{7}{32} \cdot \frac{96}{43} = \frac{21}{43}, w_{2} = \frac{1}{16} \cdot \frac{96}{43} = \frac{6}{43}, w_{3} = \frac{1}{6} \cdot \frac{96}{43} = \frac{16}{43} .$

確認. $\frac{21 + 6 + 16}{43} = 1$ 。また $4 \cdot 21 + 2 \cdot 6 = 96$ , $2 \cdot 21 + 9 \cdot 6 = 96$ , $6 \cdot 16 = 96$ で $(1)$ 〜 $(3)$ が成り立つ。なお最小分散は $w^{T} Σ w = μ 1^{T} w = μ = \frac{0.96}{43} = \frac{24}{1075}$ である（一般に $w^{*} = \frac{Σ ^{- 1} 1}{1 ^{T} Σ ^{- 1} 1}$ ）。

答え: $(\frac{21}{43}, \frac{6}{43}, \frac{16}{43})$

別解

共分散行列を $Σ = 0.04 0.02 0 0.02 0.09 0 00 0.06$ とすると、 $Var (R_{P}) = w^{⊤} Σ w$ である。 $Σ$ は正定値（主小行列式は $0.04 > 0, 0.04 \cdot 0.09 - 0.0 2^{2} = 0.0032 > 0, 0.0032 \cdot 0.06 > 0$ ）なので、制約 $w_{1} + w_{2} + w_{3} = 1$ のもとで最小値がただ 1 つ存在する。

ラグランジュ乗数 $λ$ を用いて $Σ w = λ 1$ を解く。 $w = λ x$ とおき、 $Σ x = 1$ を解く。
- 第 3 式: $0.06 x_{3} = 1$ より $x_{3} = \frac{50}{3}$ 。
- 第 1 式: $0.04 x_{1} + 0.02 x_{2} = 1$ より $x_{1} = 25 - \frac{1}{2} x_{2}$ 。
- 第 2 式: $0.02 x_{1} + 0.09 x_{2} = 1$ に代入すると $0.5 - 0.01 x_{2} + 0.09 x_{2} = 1$ 、よって $0.08 x_{2} = 0.5$ 、 $x_{2} = \frac{25}{4}$ 。
- このとき $x_{1} = 25 - \frac{25}{8} = \frac{175}{8}$ 。

和は $x_{1} + x_{2} + x_{3} = \frac{175}{8} + \frac{25}{4} + \frac{50}{3} = \frac{525 + 150 + 400}{24} = \frac{1075}{24}$ 。 $w_{i} = x_{i} / \sum x_{j}$ より
$w_{1} = \frac{525}{1075} = \frac{21}{43}, w_{2} = \frac{150}{1075} = \frac{6}{43}, w_{3} = \frac{400}{1075} = \frac{16}{43} .$
すべて正なので、空売りは実際には生じない。

検算。 $w_{1} + w_{2} + w_{3} = \frac{21 + 6 + 16}{43} = 1$ 。 $Σ w$ の各成分: $0.04 \cdot \frac{21}{43} + 0.02 \cdot \frac{6}{43} = \frac{0.96}{43}$ 、 $0.02 \cdot \frac{21}{43} + 0.09 \cdot \frac{6}{43} = \frac{0.42 + 0.54}{43} = \frac{0.96}{43}$ 、 $0.06 \cdot \frac{16}{43} = \frac{0.96}{43}$ で、3 成分が等しい（最小分散 $\frac{0.96}{43} \approx 0.0223$ ）。

答え: $(w_{1}, w_{2}, w_{3}) = (\frac{21}{43}, \frac{6}{43}, \frac{16}{43})$

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