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数理ファイナンス・保険数学の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学数学数理ファイナンス・保険数学

$2$ つの危険資産 $C_{1}, C_{2}$ と安全資産がある。危険資産の $1$ 期間の収益率をそれぞれ確率変数 $R_{1}, R_{2}$ とし、
$E [R_{1}] = 0.08, E [R_{2}] = 0.12, Var (R_{1}) = 0.04, Var (R_{2}) = 0.09, Cov (R_{1}, R_{2}) = 0.012$
とする。安全資産の $1$ 期間の収益率は確定値 $r_{f} = 0.04$ である。

危険資産だけからなるポートフォリオで、 $C_{1}, C_{2}$ への投資比率を $w_{1}, w_{2}$ （ $w_{1} + w_{2} = 1$ 、 $w_{1}, w_{2}$ は実数で、空売りも許す）とし、その収益率を $R_{p} = w_{1} R_{1} + w_{2} R_{2}$ とする。 $E [R_{p}] > r_{f}$ を満たすもののうち、シャープ比
$\frac{E [ R _{p} ] - r _{f}}{Var ( R _{p} )}$
を最大にするポートフォリオ（接点ポートフォリオ）の投資比率 $w_{1}, w_{2}$ を、組 $(w_{1}, w_{2})$ の形でこの順に求めよ。

この問題で使うもの

ポートフォリオの期待収益率と分散（説明と入口の問題）
増減表と極値（説明と入口の問題）
指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）
合成関数の微分（説明と入口の問題）
行列の和・積と 2 次の逆行列（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（81 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$w_{1} = w$ , $w_{2} = 1 - w$ とおき、期待超過収益率 $E [R_{p}] - r_{f}$ と分散 $Var (R_{p})$ を $w$ の式で表しましょう。

ヒント 2

$Var (R_{p}) = w^{2} Var (R_{1}) + (1 - w)^{2} Var (R_{2}) + 2 w (1 - w) Cov (R_{1}, R_{2})$ です。シャープ比の対数を微分すると計算が楽になります。または、接点ポートフォリオが $Σ^{- 1} (μ - r_{f} 1)$ に比例することを使います。

ヒント 3

$E [R_{p}] - r_{f} = 0.08 - 0.04 w$ 、 $Var (R_{p}) = 0.106 w^{2} - 0.156 w + 0.09$ となります。

答えと解説

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(\frac{33}{67}, \frac{34}{67})

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解説を読む

$w_{1} = w$ 、 $w_{2} = 1 - w$ とおく。

期待超過収益率.
$E [R_{p}] - r_{f} = 0.08 w + 0.12 (1 - w) - 0.04 = 0.08 - 0.04 w .$
$E [R_{p}] > r_{f}$ は $w < 2$ と同値である。

分散.
$Var (R_{p}) = w^{2} Var (R_{1}) + (1 - w)^{2} Var (R_{2}) + 2 w (1 - w) Cov (R_{1}, R_{2})$
$= 0.04 w^{2} + 0.09 (1 - 2 w + w^{2}) + 0.024 (w - w^{2}) = 0.106 w^{2} - 0.156 w + 0.09.$
これを $D (w)$ とおく（判別式 $0.15 6^{2} - 4 \cdot 0.106 \cdot 0.09 < 0$ より常に正）。

シャープ比の最大化. $w < 2$ ではシャープ比は正なので、その対数
$g (w) = lo g (0.08 - 0.04 w) - \frac{1}{2} lo g D (w)$
を最大にすればよい。
$g^{'} (w) = \frac{- 0.04}{0.08 - 0.04 w} - \frac{0.212 w - 0.156}{2 D ( w )} = 0$
より
$- 0.04 D (w) = (0.106 w - 0.078) (0.08 - 0.04 w) .$
左辺は $- 0.00424 w^{2} + 0.00624 w - 0.0036$ 、右辺は $- 0.00424 w^{2} + 0.0116 w - 0.00624$ である。 $w^{2}$ の項が消えて
$0.00624 w - 0.0036 = 0.0116 w - 0.00624 ⟹ 0.00536 w = 0.00264 ⟹ w = \frac{264}{536} = \frac{33}{67} .$
$w \to - \infty$ と $w \to 2$ の両側でシャープ比は最大値より小さい値（ $w \to 2$ で $0$ 、 $w \to - \infty$ で $\frac{0.04}{0.106}$ 程度）に近づき、臨界点は $w = \frac{33}{67}$ だけなので、ここで最大となる。

（別解）接点ポートフォリオは $Σ^{- 1} (μ - r_{f} 1)$ に比例する。 $μ - r_{f} 1 = (0.04, 0.08)$ 、 $det Σ = 0.04 \cdot 0.09 - 0.01 2^{2} = 0.003456$ で
$Σ^{- 1} (μ - r_{f} 1) = \frac{1}{0.003456} (0.09 \cdot 0.04 - 0.012 \cdot 0.08 - 0.012 \cdot 0.04 + 0.04 \cdot 0.08) = \frac{1}{0.003456} (0.00264 0.00272)$
となり、比は $264 : 272 = 33 : 34$ 。和が $1$ になるよう正規化しても同じ結果を得る。

よって $(w_{1}, w_{2}) = (\frac{33}{67}, \frac{34}{67})$ 。

別解

超過収益 $μ = (0.08 - 0.04, 0.12 - 0.04) = (0.04, 0.08)$ 、共分散行列 $Σ = (0.04 0.012 0.012 0.09)$ 。接点ポートフォリオの比率は $w \propto Σ^{- 1} μ$ （和が 1 になるよう正規化）。 $det Σ = 0.0036 - 0.000144 = 0.003456$ 、 $Σ^{- 1} = \frac{1}{0.003456} (0.09 - 0.012 - 0.012 0.04)$ 。よって $Σ^{- 1} μ \propto (0.09 \cdot 0.04 - 0.012 \cdot 0.08, - 0.012 \cdot 0.04 + 0.04 \cdot 0.08) = (0.00264, 0.00272)$ 。和は $0.00536$ なので $w_{1} = 264/536 = 33/67$ 、 $w_{2} = 272/536 = 34/67$ 。検算: $w_{1} + w_{2} = 1$ 、超過収益 $0.04 \cdot 33/67 + 0.08 \cdot 34/67 = 4.04/67 > 0$ で条件 $E [R_{p}] > r_{f}$ を満たす。 $Σ w \propto μ$ の確認: $0.04 \cdot 33 + 0.012 \cdot 34 = 1.728$ 、 $0.012 \cdot 33 + 0.09 \cdot 34 = 3.456$ で比は $1 : 2 = μ_{1} : μ_{2}$ ✓。

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