確率変数の共分散と相関係数

$Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$ を求め、 $V (a X + bY)$ を共分散を使って計算できる

前提

同時分布・周辺分布と独立性（大学数学確率・統計）
共分散と相関係数（数学I データの分析）

この技能までの道筋（61 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
確率の定義と和事象・余事象（数学A 場合の数と確率）
期待値（数学A 場合の数と確率）
確率変数と確率分布（数学B 統計的な推測）
平均と合計（算数いろいろな文章題）
平均値・中央値・最頻値（中学数学データの活用）
代表値（平均値・中央値・最頻値）（数学I データの分析）
分散と標準偏差（数学I データの分析）
変量の変換と平均・分散（数学I データの分析）
確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （数学B 統計的な推測）
確率変数の和と積（独立な場合）（数学B 統計的な推測）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
同時分布・周辺分布と独立性（大学数学確率・統計）
共分散と相関係数（数学I データの分析）

説明

2 つの確率変数 $X, Y$ が「一緒にどれくらい動くか」を表す量が共分散 $Cov (X, Y)$ です。これを $Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$ で計算できるようになると、独立とは限らない $X, Y$ の一次結合 $a X + bY$ の分散 $V (a X + bY)$ も求められます。投資の組合せのリスク、測定誤差の合成、相関係数による関係の強さの評価などで使います。

なぜそうしてよいのか

$E (X) = μ_{X}, E (Y) = μ_{Y}$ とします。データの共分散が「偏差の積の平均」だったのと同じように、確率変数の共分散を $Cov (X, Y) = E ((X - μ_{X}) (Y - μ_{Y}))$ と定義します。 $X$ が平均より大きいときに $Y$ も平均より大きくなりやすければ偏差の積は正になりやすいので $Cov > 0$ 、逆向きなら $Cov < 0$ です。中身を展開すると $X Y - μ_{Y} X - μ_{X} Y + μ_{X} μ_{Y}$ で、期待値の線形性（ $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ 、 $E (c X) = c E (X)$ 。これは独立でなくても成り立ちます）を使うと $E (X Y) - μ_{Y} μ_{X} - μ_{X} μ_{Y} + μ_{X} μ_{Y} = E (X Y) - E (X) E (Y)$ が得られます。 $E (X Y)$ は同時分布から、離散なら $\sum_{i, j} x_{i} y_{j} P (X = x_{i}, Y = y_{j})$ 、連続なら $\iint x y f (x, y) d x d y$ で計算します。

次に $a X + bY$ の平均は $a μ_{X} + b μ_{Y}$ なので、 $V (a X + bY) = E ((a (X - μ_{X}) + b (Y - μ_{Y}))^{2})$ です。2 乗を展開して線形性を使うと $V (a X + bY) = a^{2} V (X) + 2 ab Cov (X, Y) + b^{2} V (Y)$ となります。 $X, Y$ が独立なら $E (X Y) = E (X) E (Y)$ なので $Cov = 0$ となり、以前学んだ $V (a X + bY) = a^{2} V (X) + b^{2} V (Y)$ に戻ります。つまり共分散の項は「独立でないことによる補正」です。

また、 $V (X) > 0, V (Y) > 0$ のとき相関係数を $ρ (X, Y) = \frac{Cov ( X , Y )}{V ( X ) V ( Y )}$ と定めます。単位や尺度に左右されない量で、つねに $- 1 \leq ρ \leq 1$ を満たし、 $\pm 1$ に近いほど直線的な関係が強いことを表します。

手順

同時分布から $E (X), E (Y)$ を求める（周辺分布を使ってもよい）。
$E (X Y)$ を求める。離散なら $\sum x_{i} y_{j} P (X = x_{i}, Y = y_{j})$ 、連続なら $\iint x y f (x, y) d x d y$ 。
共分散を計算する： $Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$ 。
必要な分散を $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ などで求める。
$V (a X + bY) = a^{2} V (X) + 2 ab Cov (X, Y) + b^{2} V (Y)$ に代入する（相関係数が必要なら $ρ = Cov / (V (X) V (Y))$ ）。

例題

確率変数 $X, Y$ はそれぞれ 0 または 1 の値をとり、同時分布が $P (X = 0, Y = 0) = \frac{2}{5}, P (X = 0, Y = 1) = \frac{1}{10}, P (X = 1, Y = 0) = \frac{1}{10}, P (X = 1, Y = 1) = \frac{2}{5}$ である。 $V (X - 2 Y)$ を求めよ。

例題の解答

手順 1：周辺分布は $P (X = 1) = \frac{1}{10} + \frac{2}{5} = \frac{1}{2}$ 、 $P (Y = 1) = \frac{1}{10} + \frac{2}{5} = \frac{1}{2}$ なので $E (X) = \frac{1}{2}, E (Y) = \frac{1}{2}$ 。
手順 2： $X Y$ が 0 でないのは $X = Y = 1$ のときだけなので $E (X Y) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$ 。
手順 3： $Cov (X, Y) = \frac{2}{5} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{20}$ 。
手順 4： $X^{2} = X$ より $E (X^{2}) = \frac{1}{2}$ 、 $V (X) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ 。同様に $V (Y) = \frac{1}{4}$ 。（参考： $ρ = \frac{3/20}{( 1/2 ) ( 1/2 )} = \frac{3}{5}$ 。）
手順 5： $a = 1, b = - 2$ として $V (X - 2 Y) = 1^{2} \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot 1 \cdot (- 2) \cdot \frac{3}{20} + (- 2)^{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} - \frac{3}{5} + 1 = \frac{13}{20}$ 。

答え: $\frac{13}{20}$

よくある誤り

独立でないのに $V (a X + bY) = a^{2} V (X) + b^{2} V (Y)$ としてしまう誤り。正しくは共分散の項を加えて $V (a X + bY) = a^{2} V (X) + 2 ab Cov (X, Y) + b^{2} V (Y)$ 。
差の分散を $V (X - Y) = V (X) - V (Y)$ としてしまう誤り。 $b = - 1$ で $b^{2} = 1$ なので、正しくは $V (X - Y) = V (X) + V (Y) - 2 Cov (X, Y)$ 。
共分散の項の係数を $a^{2} b^{2}$ や $ab$ （2 を落とす）にしてしまう誤り。正しくは $2 ab Cov (X, Y)$ 。例えば $V (2 X + 3 Y)$ の共分散の項は $12 Cov (X, Y)$ 。
$Cov (X, Y) = 0$ なら独立だと結論してしまう誤り。独立なら $Cov = 0$ だが逆は成り立たない。例： $X$ が $- 1, 0, 1$ を確率 $\frac{1}{3}$ ずつとり $Y = X^{2}$ のとき、 $E (X Y) = E (X^{3}) = 0 = E (X) E (Y)$ で $Cov = 0$ だが、 $P (X = 0, Y = 1) = 0 \neq = P (X = 0) P (Y = 1) = \frac{2}{9}$ なので独立でない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

不偏推定量（大学数学確率・統計）
最小二乗法と回帰直線（大学数学数理統計）
ブラウン運動の時間積分のガウス性（大学院数学確率解析）
ポートフォリオの期待収益率と分散（大学数学数理ファイナンス・保険数学）