ブラウン運動の時間積分のガウス性

$\int_{0}^{T} W_{s} d s$ が平均 $0$ ・分散 $T^{3} /3$ の正規分布にしたがい、 $Cov (W_{T}, \int_{0}^{T} W_{s} d s) = T^{2} /2$ となることを示し、 $E [exp (\int_{0}^{T} W_{s} d s)]$ などの期待値を求められる

前提

ブラウン運動（大学院数学確率論）
フビニ・トネリの定理（大学院数学測度論・実解析）
確率変数の共分散と相関係数（大学数学確率・統計）

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算数中学高校大学大学院

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中心極限定理（特性関数による）（大学院数学確率論）
ブラウン運動（大学院数学確率論）
フビニ・トネリの定理（大学院数学測度論・実解析）
共分散と相関係数（数学I データの分析）
確率変数の共分散と相関係数（大学数学確率・統計）

説明

ブラウン運動 $W$ の道を時間について積分した確率変数 $I_{T} = \int_{0}^{T} W_{s} d s$ は、平均 $0$ ・分散 $T^{3} /3$ の正規分布にしたがいます。さらに $a W_{T} + b I_{T}$ のような線形結合も正規分布になり、 $Cov (W_{T}, I_{T}) = T^{2} /2$ です。これを使うと、 $E [exp (I_{T})]$ や $E [exp (a W_{T} + b I_{T})]$ のような期待値を、正規分布の積率母関数 $E [e^{X}] = e^{μ + σ^{2} /2}$ に帰着させて計算できます。

なぜそうしてよいのか

まず「正規分布になる」理由です。 $W$ の道は連続なので、 $I_{T}$ はリーマン和 $S_{n} = \frac{T}{n} \sum_{k = 1}^{n} W_{k T / n}$ の各点（各 $ω$ ごと）の極限です。 $W_{k T / n}$ は独立な正規増分 $W_{j T / n} - W_{(j - 1) T / n}$ の和なので、 $S_{n}$ （あるいは $a W_{T} + b S_{n}$ ）は独立な正規分布の確率変数の線形結合であり、平均 $0$ の正規分布 $N (0, σ_{n}^{2})$ にしたがいます。その特性関数は $E [e^{i u S_{n}}] = e^{- u^{2} σ_{n}^{2} /2}$ で、 $∣ e^{i u S_{n}} ∣ = 1$ なので優収束定理により左辺は $E [e^{i u I_{T}}]$ に収束します。 $σ_{n}^{2}$ が有限の値 $σ^{2}$ に収束すれば $E [e^{i u I_{T}}] = e^{- u^{2} σ^{2} /2}$ となり、特性関数が分布を決めることから $I_{T} \sim N (0, σ^{2})$ がわかります。

次に平均と分散です。ここで期待値と時間積分の順序を交換するのがフビニ・トネリの定理です。 $W$ は道が連続なので $(s, ω) \mapsto W_{s} (ω)$ は可測で、 $E ∣ W_{s} ∣ = 2 s / π$ 、 $E ∣ W_{s} W_{t} ∣ \leq E [W_{s}^{2}] E [W_{t}^{2}] = s t$ はどれも $[0, T]$ や $[0, T]^{2}$ 上で積分が有限です。よって
$E [I_{T}] = \int_{0}^{T} E [W_{s}] d s = 0, E [I_{T}^{2}] = \int_{0}^{T} \int_{0}^{T} E [W_{s} W_{t}] d s d t = \int_{0}^{T} \int_{0}^{T} min (s, t) d s d t$
となります。被積分関数は $s = t$ について対称なので $s < t$ の部分の 2 倍で、 $2 \int_{0}^{T} (\int_{0}^{t} s d s) d t = 2 \int_{0}^{T} \frac{t ^{2}}{2} d t = \frac{T ^{3}}{3}$ です（リーマン和の分散 $σ_{n}^{2} = \frac{T ^{2}}{n ^{2}} \sum_{j, k} min (j T / n, k T / n)$ もこの値に収束します）。

同じように $Cov (W_{T}, I_{T}) = E [W_{T} I_{T}] = \int_{0}^{T} E [W_{T} W_{s}] d s = \int_{0}^{T} min (T, s) d s = \int_{0}^{T} s d s = \frac{T ^{2}}{2}$ です。 $a W_{T} + b I_{T}$ は正規分布なので、その分散 $a^{2} T + 2 ab \frac{T ^{2}}{2} + b^{2} \frac{T ^{3}}{3}$ さえわかれば分布が完全に決まります。

手順

求めたい量を、 $W_{T}$ と $I_{T} = \int_{0}^{T} W_{s} d s$ の線形結合 $X = a W_{T} + b I_{T}$ の関数として書く（例: $E [e^{X}]$ ）
$X$ が平均 $0$ の正規分布にしたがうことを確認する（リーマン和の極限として正規分布になる）
基本の値を用意する: $V (W_{T}) = T$ 、 $V (I_{T}) = \frac{T ^{3}}{3}$ 、 $Cov (W_{T}, I_{T}) = \frac{T ^{2}}{2}$ （いずれも $E [W_{s} W_{t}] = min (s, t)$ をフビニ・トネリの定理で積分して得る）
$V (X) = a^{2} V (W_{T}) + 2 ab Cov (W_{T}, I_{T}) + b^{2} V (I_{T})$ を計算する
$X \sim N (0, σ^{2})$ の積率母関数 $E [e^{λ X}] = e^{λ^{2} σ^{2} /2}$ などを使って期待値を求める

例題

$W = (W_{t})_{t \geq 0}$ を $W_{0} = 0$ の標準ブラウン運動とする。 $X = \int_{0}^{2} W_{s} d s - W_{2}$ とおくとき、 $E [e^{X}]$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $T = 2$ として $I_{2} = \int_{0}^{2} W_{s} d s$ とおくと、 $X = - W_{2} + I_{2}$ （ $a = - 1, b = 1$ ）である。

【手順 2】 $- W_{2} + S_{n}$ （ $S_{n}$ は $I_{2}$ のリーマン和）は独立な正規増分の線形結合なので平均 $0$ の正規分布にしたがい、道の連続性と特性関数の収束から $X$ も平均 $0$ の正規分布にしたがう。

【手順 3】 $V (W_{2}) = 2$ 、 $V (I_{2}) = \frac{2 ^{3}}{3} = \frac{8}{3}$ 、 $Cov (W_{2}, I_{2}) = \frac{2 ^{2}}{2} = 2$ 。

【手順 4】 $V (X) = (- 1)^{2} \cdot 2 + 2 \cdot (- 1) \cdot 1 \cdot 2 + 1^{2} \cdot \frac{8}{3} = 2 - 4 + \frac{8}{3} = \frac{2}{3}$ 。

【手順 5】 $X \sim N (0, \frac{2}{3})$ なので $E [e^{X}] = exp (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}) = e^{1/3}$ 。

答え: $e^{\frac{1}{3}}$

よくある誤り

$V (\int_{0}^{T} W_{s} d s) = \int_{0}^{T} V (W_{s}) d s = \int_{0}^{T} s d s = \frac{T ^{2}}{2}$ としてしまう誤り。 $W_{s}$ どうしは独立ではないので分散は足し合わせられない。正しくは共分散を 2 重に積分して $\int_{0}^{T} \int_{0}^{T} min (s, t) d s d t = \frac{T ^{3}}{3}$ 。
$\int_{0}^{T} \int_{0}^{T} min (s, t) d s d t$ を $s < t$ の部分だけで計算して $\frac{T ^{3}}{6}$ としてしまう誤り。正しくは $s > t$ の部分も同じ大きさなので 2 倍して $\frac{T ^{3}}{3}$ 。
$W_{T}$ と $\int_{0}^{T} W_{s} d s$ を独立とみなして $V (W_{T} + I_{T}) = T + \frac{T ^{3}}{3}$ としてしまう誤り。正しくは共分散 $\frac{T ^{2}}{2}$ の 2 倍を加えて $T + T^{2} + \frac{T ^{3}}{3}$ 。
$E [exp (\int_{0}^{T} W_{s} d s)] = exp (E [\int_{0}^{T} W_{s} d s]) = 1$ としてしまう誤り。期待値は $exp$ の中に入れられない。正しくは $N (0, \frac{T ^{3}}{3})$ の積率母関数から $e^{T^{3} /6}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$(W_{t})_{t \geq 0}$ を確率空間 $(Ω, F, P)$ 上の $W_{0} = 0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、 $(F_{t})_{t \geq 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。ドリフト付きブラウン運動
$X_{t} = W_{t} + 2 t (0 \leq t \leq 1)$
に対して、期待値
$E [(\int_{0}^{1} X_{t} d t)^{2} e^{- 2 X_{1}}]$
の値を求めよ。ただし $E$ は $P$ に関する期待値である。

ブラウン運動の時間積分のガウス性

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題