確率解析

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。伊藤積分
$$X={\int }_0^2(W_t+t)d{W}_t$$
を考える。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。伊藤積分
$$X={\int }_0^2(W_t+1)d{W}_t$$
を考える。期待値 $E\left[(3+X{)}^2\right]$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。確率変数 $X$ を
$$X=3+{\int }_0^{2}t{W}_{t}d{W}_t$$
で定める（右辺の積分は伊藤積分）。$E[X^2]$ を求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $B_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、確率過程 $X_t$ を
$$X_t=t{B}_t^3(t\ge 0)$$
で定める。伊藤の公式により、$X_t$ は実数 $t\ge 0$, $x$ の連続関数 $a(t,x)$, $b(t,x)$ を用いて
$$d{X}_t=a(t,B_t)dt+b(t,B_t)d{B}_t$$
の形に表される。このときのドリフト係数 $a(t,x)$ を $t$ と $x$ の式で求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $B_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、
$$X_t=t^2{B}_t^3(t\ge 0)$$
とおく。$X_t$ は、多項式 $\mu (t,x)$, $\sigma (t,x)$ を用いて
$$d{X}_t=\mu (t,B_t)dt+\sigma (t,B_t)d{B}_t$$
と表される。このときのドリフト係数 $\mu (t,x)$ を $t$, $x$ の式で求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $B_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、
$$X_t=e^t{B}_t^2(t\ge 0)$$
とおく。伊藤の公式により、$X_t$ は $2$ 変数の連続関数 $\mu (t,x)$, $\sigma (t,x)$ を用いて
$$d{X}_t=\mu (t,B_t)dt+\sigma (t,B_t)d{B}_t$$
の形に表される。このときのドリフト係数 $\mu (t,x)$ を $t$, $x$ の式で求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とする。確率過程 $(X_t{)}_{t\ge 0}$ は確率微分方程式
$$d{X}_t=X_{t}dt+X_{t}d{W}_t,X_0=2$$
の解（幾何ブラウン運動）とする。$T=\log 3$ のとき、$X_T$ の分散 $V(X_T)$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の、$W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とする。確率過程 $(X_t{)}_{t\ge 0}$ は確率微分方程式
$$d{X}_t=2X_{t}dt+X_{t}d{W}_t,X_0=1$$
の解とする。$T=\log 2$ のとき、分散 $V(X_T)$ の値を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とする。確率過程 $(X_t{)}_{t\ge 0}$ は確率微分方程式
$$d{X}_t=X_{t}dt+2X_{t}d{W}_t,X_0=3$$
の解とする。$T=\log 2$ のとき、分散 $V(X_T)$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。確率過程 $X_t=2+3W_t$ を考え、
$$\tau =\inf \{t\ge 0:X_t\notin (0,6)\}$$
とおく（$X$ が初めて $0$ または $6$ に到達する時刻）。$\tau <\infty$ がほとんど確実に成り立つことは既知としてよい。期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。$X_t=2W_t$ とおき、
$$\tau =\inf \{t\ge 0:X_t\notin (-1,3)\}$$
とする（$X$ が初めて $-1$ または $3$ に到達する時刻）。期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。確率過程 $X_t$ を
$$X_t=1+2W_t(t\ge 0)$$
で定め、
$$\tau =\inf \{t\ge 0:X_t\notin (0,4)\}$$
とおく（$X$ が初めて $0$ または $4$ に到達する時刻）。期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。${\mathcal{F}}_2$ 上の確率測度 $Q$ を
$$\frac{dQ}{dP}=\exp \left(3W_2-9\right)$$
で定める。$Q$ に関する期待値 $E_Q\left[W_1{W}_2\right]$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。ドリフト付きブラウン運動
$$X_t=W_t+2t(0\le t\le 1)$$
に対して、期待値
$$E\left[{\left({\int }_0^1{X}_{t}dt\right)}^2{e}^{-2X_1}\right]$$
の値を求めよ。ただし $E$ は $P$ に関する期待値である。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $B_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。ドリフト $1$ のブラウン運動
$$X_t=B_t+t(t\ge 0)$$
を考える。期待値
$$E_P\left[X_2^2{e}^{-X_2}\right]$$
の値を、ギルサノフの定理を用いて求めよ。

関数 $u(t,x)$（$0\le t\le 2$, $x\in \mathbb{R}$）は、$t$ について $1$ 回、$x$ について $2$ 回連続微分可能で、$x$ について多項式増大度をもつとする。さらに、次の終端値問題の解であるとする。
$$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-\frac{1}{2}u=0(0\le t<2,x\in \mathbb{R}),u(2,x)=x^3.$$
ファインマン・カッツの公式を用いて、$u(0,1)$ の値を求めよ。

$r=\frac{1}{2}\log 5$ とする。関数 $u(t,x)$ $(0\le t\le 2,x\in \mathbb{R})$ は $[0,2]\times \mathbb{R}$ 上で連続、$[0,2)\times \mathbb{R}$ 上で $t$ について 1 回、$x$ について 2 回連続微分可能であり、ある定数 $C>0$ に対して $|u(t,x)|\le C(1+|x{|}^3)$ を満たす。さらに $u$ は終端値問題
$$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-ru=0(0\le t<2,x\in \mathbb{R}),u(2,x)=x^3$$
の解であるとする。ファインマン・カッツの公式を用いて $u(0,1)$ の値を求めよ。

関数 $u(t,x)$（$0\le t\le 2$, $x\in \mathbb{R}$）は、偏微分方程式の終端値問題
$$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-u=0(0\le t<2,x\in \mathbb{R}),u(2,x)=x^2$$
の解である。$u$ は $[0,2]\times \mathbb{R}$ で連続で、$[0,2)\times \mathbb{R}$ で $t$ について 1 回、$x$ について 2 回連続微分可能であり、$x$ について多項式増大度をもつ（ある定数 $C>0$ と正の整数 $m$ があって $|u(t,x)|\le C(1+|x{|}^m)$）ものとする。このような解はファインマン・カッツの公式で表される。$(B_s{)}_{s\ge 0}$ を $B_0=0$ である 1 次元標準ブラウン運動として、ファインマン・カッツの公式を用いて $u(t,x)$ を $t,x$ の式で求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $3$ 次元標準ブラウン運動で，$B_0=(0,0,2)$ を満たすものとする。$|\cdot |$ をユークリッドノルムとし，
$$\tau =\inf \{t\ge 0:|B_t|\le 1\text{or}|B_t|\ge 4\}$$
とおく（$\tau$ は球殻 $\{x\in {\mathbb{R}}^3:1<|x|<4\}$ からの脱出時刻）。$\tau <\infty$ がほとんど確実に成り立つことは用いてよい。$B$ が内側の球面 $|x|=1$ より先に外側の球面 $|x|=4$ に到達する確率 $P(|B_{\tau }|=4)$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし，$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。
$$\tau =\inf \{t\ge 0:W_t\notin (-1,2)\}$$
とおく（$W$ が初めて $-1$ または $2$ に達する時刻）。次の $4$ つの過程
$$W_t,W_t^2-t,W_t^3-3t{W}_t,W_t^4-6t{W}_t^2+3t^2$$
がいずれも $({\mathcal{F}}_t)$-マルチンゲールであること，および $\tau <\infty$ a.s.，$E[\tau ]=2$ であることは用いてよい。$E[{\tau }^2]$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし，$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。期待値
$$E\left[\exp \left(-W_1^2-2{\int }_0^1{W}_s^{2}ds\right)\right]$$
を求めよ。ただし，
$$Z_t=\exp \left(-2{\int }_0^t{W}_{s}d{W}_s-2{\int }_0^t{W}_s^{2}ds\right)(0\le t\le 1)$$
が $({\mathcal{F}}_t)$-マルチンゲールであること（したがって $dQ=Z_{1}dP$ でギルサノフの定理が使えること）は用いてよい。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とする。$T>0$ を実数の定数とするとき、期待値
$$E\left[e^{W_T}\cos W_T\right]$$
を $T$ の式で求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とする。確率微分方程式
$$d{X}_t=-2X_{t}dt+3d{W}_t,X_0=1$$
の解 $(X_t{)}_{t\ge 0}$（オルンシュタイン・ウーレンベック過程）について、$T=\log 2$ とするとき、2 次モーメント $E\left[X_T^2\right]$ を求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $3$ 次元標準ブラウン運動で、$B_0=(2,0,0)$ を満たすものとする。$|\cdot |$ をユークリッドノルムとし、停止時刻
$${\sigma }_1=\inf \{t\ge 0:|B_t|=1\},{\sigma }_3=\inf \{t\ge 0:|B_t|=3\}$$
を考える。$B$ が半径 $3$ の球面より先に半径 $1$ の球面に到達する確率 $P({\sigma }_1<{\sigma }_3)$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーション（通常の条件を満たすように完備化したもの）とする。実数の定数 $a,b$ に対して
$$X_t=W_t^4+at{W}_t^2+b{t}^2(t\ge 0)$$
とおく。$(X_t{)}_{t\ge 0}$ が $({\mathcal{F}}_t)$ に関するマルチンゲールとなるような組 $(a,b)$ を求めよ。答えは $(a,b)$ の順の組で答えよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。伊藤積分
$$X={\int }_0^1{e}^{W_t}d{W}_t$$
を考える。このとき、期待値
$$E\left[(X+W_1{)}^2\right]$$
を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。確率過程 $(S_t{)}_{t\ge 0}$ を確率微分方程式
$$d{S}_t=2S_{t}dt+S_{t}d{W}_t,S_0=3$$
の（強）解とする。$T=\log 2$ とするとき、分散 $V(S_T)=E\left[(S_T-E[S_T]{)}^2\right]$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。伊藤の意味での確率微分方程式
$$d{S}_t=S_{t}dt+2S_{t}d{W}_t,S_0=3,$$
すなわち伊藤積分を用いた積分方程式
$$S_t=3+{\int }_0^t{S}_{u}du+{\int }_0^{t}2S_{u}d{W}_u(t\ge 0)$$
の解 $(S_t{)}_{t\ge 0}$ について、$S_1$ の分散 $V(S_1)=E[S_1^2]-(E[S_1]{)}^2$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。確率微分方程式
$$d{S}_t=\frac{1}{2}{S}_{t}dt+S_{t}d{W}_t,S_0=2$$
の（強）解 $(S_t{)}_{t\ge 0}$ を考える。共分散 $\mathrm{Cov}(S_1,S_2)=E[S_1{S}_2]-E[S_1]E[S_2]$ を求めよ。

$(\Omega ,\mathcal{F},({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0},P)$ を通常の条件を満たすフィルター付き確率空間とし、$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である $({\mathcal{F}}_t)$-標準ブラウン運動とする。${\mathcal{L}}^2$ を、発展的可測な実数値過程 $H=(H_t{)}_{0\le t\le 1}$ で $E\left[{\int }_0^1{H}_s^{2}ds\right]<\infty$ を満たすもの全体とする。$H\in {\mathcal{L}}^2$ に対する伊藤積分 ${\int }_0^1{H}_{s}d{B}_s$ について、次の事実は用いてよい。

• $H\mapsto {\int }_0^1{H}_{s}d{B}_s$ は ${\mathcal{L}}^2$ 上で線形（等式は a.s. の意味）である。
• $E\left[{\int }_0^1{H}_{s}d{B}_s\right]=0$ であり、伊藤の等長性 $E\left[{\left({\int }_0^1{H}_{s}d{B}_s\right)}^2\right]=E\left[{\int }_0^1{H}_s^{2}ds\right]$ が成り立つ。
• 伊藤の公式。

このとき、任意の $H\in {\mathcal{L}}^2$ に対して
$$E\left[{\left(B_1^2-{\int }_0^1{H}_{s}d{B}_s\right)}^2\right]\ge 1$$
が成り立つことを証明せよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。伊藤積分
$$Y={\int }_0^1{e}^{W_t}d{W}_t,X={\int }_0^1{W}_{t}d{W}_t$$
を考える。実数 $a,b$ に対して
$$F(a,b)=E\left[{\left(Y-a{W}_1-bX\right)}^2\right]$$
とおくとき、$F(a,b)$ の最小値（$a,b$ が実数全体を動くときの最小値）を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーション（を通常の条件を満たすように拡大したもの）とする。確率過程 $(X_t{)}_{t\ge 0}$ を、確率微分方程式
$$d{X}_t=-X_{t}dt+d{W}_t,X_0=1$$
のただ一つの強い解（オルンシュタイン–ウーレンベック過程）とする。伊藤の公式を用いて、期待値 $E\left[X_1^3\right]$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とする。実数 $t\ge 0$ と $x$ に対して
$$u(t,x)=E\left[\exp \left(-{\int }_0^t(x+W_s)ds\right)e^{x+W_t}\right]$$
と定める。ファインマン・カッツの公式により、$u$ は偏微分方程式
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-xu,u(0,x)=e^x$$
の解を与える。$u(t,x)$ を $t$ と $x$ の式で表せ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーション（通常の条件を満たすように完備化したもの）とする。停止時刻
$$\tau =\inf \{t\ge 0:W_t\notin (-1,2)\}$$
を用いて、確率変数
$$X={\int }_0^{\tau }{W}_{t}d{W}_t={\int }_0^{\infty }{1}_{\{t\le \tau \}}{W}_{t}d{W}_t$$
を定める。$X$ の分散 $V[X]$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。確率過程 $(X_t{)}_{t\ge 0}$ を、確率微分方程式
$$d{X}_t=-X_{t}dt+2d{W}_t,X_0=3$$
の解（オルンシュタイン・ウーレンベック過程）とする。異なる 2 時刻での積の期待値
$$E\left[X_1{X}_3\right]$$
を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。確率過程 $(X_t{)}_{t\ge 0}$ は確率微分方程式
$$d{X}_t=(2-X_t)dt+2\sqrt{X_t}d{W}_t,X_0=1$$
のただ一つの強解であり、すべての $t\ge 0$ で $X_t\ge 0$ を満たすとする。また、各 $T>0$ に対して ${\sup }_{0\le t\le T}E[X_t^k]<\infty$（$k=1,2,3$）が成り立ち、以下で現れる伊藤積分 ${\int }_0^t(\cdots )d{W}_s$ はすべて期待値 $0$ のマルチンゲールになることを用いてよい。

$T=\log 2$ とするとき、期待値 $E\left[X_T^2\right]$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とする。$t\ge 0,x\in \mathbb{R}$ に対して
$$u(t,x)=E\left[\exp \left(-{\int }_0^t(x+W_s)ds\right)e^{x+W_t}\right]$$
と定める（ファインマン・カッツの公式により、これは偏微分方程式 $\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-xu,u(0,x)=e^x$ の解の確率論的表示である）。$u(t,x)$ を $t,x$ の初等関数として閉じた形で求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とする。実数 $x$ に対して
$$u(x)=E\left[(x+W_1{)}^2\exp \left({\int }_0^1(x+W_s)ds\right)\right]$$
とおく。これはファインマン・カッツの公式により、ポテンシャル項 $V(y)=y$、終端条件 $y^2$ をもつ方程式 ${\partial }_{t}v+\frac{1}{2}{\partial }_y^{2}v+yv=0$（$0\le t<1$）, $v(1,y)=y^2$ の解の時刻 $0$ における値 $v(0,x)$ を確率論的に表したものである。$u(x)$ を $x$ の式で求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。$T>0$ を実数の定数とし、伊藤積分
$$X_T={\int }_0^T\left(W_s^2-s\right)d{W}_s$$
を考える。$E\left[X_T^4\right]$ を $T$ を用いて表せ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。$T=\log 2$ とするとき、期待値
$$E\left[W_T^2\exp \left(-\frac{1}{2}{\int }_0^T{W}_s^{2}ds\right)\right]$$
の値を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。停止時刻
$$\tau =\inf \{t\ge 0:W_t\notin (-1,3)\}$$
（$W$ が初めて $-1$ または $3$ に到達する時刻）を考える。$W$ が $-1$ より先に $3$ に到達するという条件のもとでの $\tau$ の条件付き期待値
$$E[\tau \mid W_{\tau }=3]=\frac{E[\tau 1_{\{W_{\tau }=3\}}]}{P(W_{\tau }=3)}$$
を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。伊藤積分
$$X={\int }_0^1\exp \left(W_t-\frac{t}{2}\right)d{W}_t$$
を考える。このとき、3 次モーメント $E\left[X^3\right]$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。伊藤積分
$$X={\int }_0^1(W_t+t)d{W}_t,Y={\int }_0^1{e}^{W_t}d{W}_t$$
を考える。共分散 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$ を求めよ。

$(\Omega ,\mathcal{F},({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0},P)$ を通常の条件を満たすフィルター付き確率空間とし、$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ であり、すべての標本路が連続な $({\mathcal{F}}_t)$-標準ブラウン運動とする。定数 $\mu >0$, $a>0$ に対して $X_t=B_t-\mu t$ とおき、
$$\tau =\inf \{t\ge 0:X_t=a\}(\inf \varnothing =\infty )$$
と定める。次の事実は用いてよい。

• $\tau$ は $({\mathcal{F}}_t)$-停止時刻である。
• 連続な $({\mathcal{F}}_t)$-マルチンゲール $M$ と有界な停止時刻 $\sigma$ に対して $E[M_{\sigma }]=E[M_0]$（任意抽出定理）。
• $\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{B_t}{t}=0$ a.s.

このとき
$$P\left(\underset{t\ge 0}{\sup }{X}_t\ge a\right)=P(\tau <\infty )=e^{-2\mu a}$$
であることを証明せよ。

$(\Omega ,\mathcal{F},({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0},P)$ を通常の条件を満たすフィルター付き確率空間とし、$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である $({\mathcal{F}}_t)$-標準ブラウン運動とする。定数 $\theta >0$, $\sigma >0$, $x\in \mathbb{R}$ をとり、連続な $({\mathcal{F}}_t)$-適合過程 $(X_t{)}_{t\ge 0}$ が、a.s. にすべての $t\ge 0$ で
$$X_t=x-\theta {\int }_0^t{X}_{u}du+\sigma B_t$$
を満たす（すなわち確率微分方程式 $d{X}_t=-\theta X_{t}dt+\sigma d{B}_t$, $X_0=x$ の解である）とする。伊藤の公式（積の公式を含む）、確定的な関数 $f\in L^2([0,t])$ に対する伊藤積分 ${\int }_0^{t}f(u)d{B}_u$ の期待値が $0$ であること、および伊藤の等長性は用いてよい。

このとき、$0\le s\le t$ に対して
$$\mathrm{Cov}(X_s,X_t)=\frac{{\sigma }^2}{2\theta }\left(e^{-\theta (t-s)}-e^{-\theta (t+s)}\right)$$
が成り立つことを証明せよ。

$(\Omega ,\mathcal{F},({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0},P)$ を通常の条件を満たすフィルター付き確率空間とし、$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ であり、すべての標本路が連続な $({\mathcal{F}}_t)$-標準ブラウン運動とする。定数 $a>0$, $\lambda >0$ と $x\in [-a,a]$ をとり、
$$\tau =\inf \{t\ge 0:|x+B_t|=a\}(\inf \varnothing =\infty )$$
と定める。ただし $e^{-\lambda \cdot \infty }=0$ と約束する。$\tau$ が $({\mathcal{F}}_t)$-停止時刻であること、伊藤の公式、および有界な発展的可測過程 $H$ に対して $E\left[{\int }_0^t{H}_{s}d{B}_s\right]=0$（$t\ge 0$）であることは用いてよい。

このとき
$$E\left[e^{-\lambda \tau }\right]=\frac{\cosh \left(\sqrt{2\lambda }x\right)}{\cosh \left(\sqrt{2\lambda }a\right)}$$
が成り立つことを証明せよ。

$(\Omega ,\mathcal{F},({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0},P)$ を通常の条件を満たすフィルター付き確率空間とし、$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である $({\mathcal{F}}_t)$-標準ブラウン運動とする。次の事実は用いてよい。

• 伊藤の公式。
• 発展的可測な過程 $H$ が $E\left[{\int }_0^t{H}_s^{2}ds\right]<\infty$ を満たすとき $E\left[{\int }_0^t{H}_{s}d{B}_s\right]=0$。
• $Z$ を標準正規分布に従う確率変数とすると、任意の $p>0$ に対して $E[|Z{|}^p]<\infty$。

ただし、$E[B_t^{2n}]$ の値そのものを正規分布の密度関数の積分計算で求めることはせず、伊藤の公式を用いて、すべての整数 $n\ge 0$ とすべての $t\ge 0$ に対して
$$E\left[B_t^{2n}\right]=\frac{(2n)!}{2^{n}n!}{t}^n$$
が成り立つことを証明せよ（$0^0=1$ とする）。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。同じブラウン運動 $W$ で駆動される 2 つの確率微分方程式
$$d{X}_t=-X_{t}dt+d{W}_t,X_0=0,$$
$$d{Y}_t=Y_{t}d{W}_t,Y_0=1$$
の（強）解をそれぞれ $X=(X_t{)}_{t\ge 0}$（オルンシュタイン・ウーレンベック過程）、$Y=(Y_t{)}_{t\ge 0}$（幾何ブラウン運動）とする。$T=\log 2$ のとき、積 $X_T{Y}_T$ の分散 $\mathrm{Var}(X_T{Y}_T)$ を求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $3$ 次元標準ブラウン運動とし、$B_0=x_0$（$x_0\in {\mathbb{R}}^3$ は $|x_0|=\frac{3}{2}$ を満たす定点）とする。ここで $|\cdot |$ はユークリッドノルムである。停止時刻
$$\tau =\inf \{t\ge 0:|B_t|\notin (1,3)\}$$
を $B$ が球殻 $\{1<|x|<3\}$ から初めて出る時刻とし、事象 $A=\{|B_{\tau }|=1\}$（内側の球面に先に到達する事象）を考える。条件付き期待値
$$E[\tau \mid A]=\frac{E[\tau 1_A]}{P(A)}$$
の値を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。停止時刻
$$\tau =\inf \{t\ge 0:W_t\notin (-2,1)\}$$
を考える（$W$ が初めて $-2$ または $1$ に到達する時刻）。上端 $1$ から区間を出るという事象 $A=\{W_{\tau }=1\}$ に対し、条件付き期待値
$$E[\tau \mid A]=\frac{E[\tau 1_A]}{P(A)}$$
の値を求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $B_0=0$ である 1 次元標準ブラウン運動とし、$T=\log 2$ とする。期待値
$$E\left[\exp \left(\frac{1}{2}{B}_T^2-\frac{1}{2}{\int }_0^T{B}_t^{2}dt\right)\right]$$
の値を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、
$$\tau =\inf \{t\ge 0:W_t\notin (-1,2)\}$$
とおく（$W$ が初めて $-1$ または $2$ に到達する時刻）。$W$ が $-1$ より先に $2$ に到達したという条件のもとでの $\tau$ の条件付き期待値
$$E\left[\tau \mid W_{\tau }=2\right]$$
を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$T=\log 3$ とする。期待値
$$M=E\left[W_T^2\exp \left(-\frac{1}{2}{\int }_0^T{W}_t^{2}dt\right)\right]$$
の値を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、ドリフト付きブラウン運動 $X_t=W_t+t$ を考える。$c=\frac{\log 2}{2}$ とおき、停止時刻
$$\tau =\inf \{t\ge 0:|X_t|=c\}$$
を定める（$X$ が初めて区間 $(-c,c)$ の外に出る時刻）。$A$ を事象 $\{X_{\tau }=c\}$（上端に先に到達する事象）として、
$$L=E\left[e^{-\frac{3}{2}\tau }{1}_A\right]$$
の値を求めよ。ただし $\log$ は自然対数、$1_A$ は $A$ の定義関数とする。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、伊藤積分
$$X={\int }_0^1{W}_t^{2}d{W}_t,Y={\int }_0^{1}td{W}_t$$
を考える。実数 $a,b$ に対して
$$F(a,b)=E\left[{\left(X-a{W}_1-bY\right)}^2\right]$$
とおくとき、$a,b$ が実数全体を動くときの $F(a,b)$ の最小値を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。$T=\log 2$ とするとき、期待値
$$E\left[W_T^2\exp \left(-\frac{1}{2}{W}_T^2-\frac{1}{2}{\int }_0^T{W}_t^{2}dt\right)\right]$$
を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。停止時刻
$$\tau =\inf \{t\ge 0:W_t\notin (-1,3)\}$$
とおき（$W$ が初めて $-1$ または $3$ に到達する時刻）、$\lambda =\frac{(\log 2{)}^2}{2}$ とする。このとき
$$E\left[e^{-\lambda \tau }{1}_{\{W_{\tau }=-1\}}\right]$$
を求めよ。ただし $1_A$ は事象 $A$ の定義関数である。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。伊藤積分
$$I={\int }_0^1\sin (W_t)d{W}_t$$
を考え、確率変数 $Z=I+W_1^2$ とおく。$Z$ の分散 $V(Z)$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。$a=\log 2$, $b=\log 3$ とし、停止時刻
$$\tau =\inf \{t\ge 0:W_t\notin (-a,b)\}$$
を考える（$W$ が初めて $-a$ または $b$ に到達する時刻）。期待値
$$E\left[e^{-\tau /2}{1}_{\{W_{\tau }=b\}}\right]$$
を求めよ。ここで $1_{\{W_{\tau }=b\}}$ は事象 $\{W_{\tau }=b\}$ の定義関数である。