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確率解析の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学確率解析

$(W_{t})_{t \geq 0}$ を確率空間 $(Ω, F, P)$ 上の $W_{0} = 0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、 $(F_{t})_{t \geq 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。停止時刻
$τ = in f {t \geq 0 : W_{t} \in / (- 2, 1)}$
を考える（ $W$ が初めて $- 2$ または $1$ に到達する時刻）。上端 $1$ から区間を出るという事象 $A = {W_{τ} = 1}$ に対し、条件付き期待値
$E [τ ∣ A] = \frac{E [ τ 1 _{A} ]}{P ( A )}$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

脱出時刻の高次モーメントと条件付き期待値（説明と入口の問題）
ブラウン運動の停止時刻と到達確率（説明と入口の問題）
指数マルチンゲールと多項式マルチンゲール（説明と入口の問題）
伊藤の公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（115 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$W_{t}$ 、 $W_{t}^{2} - t$ のほかに、 $τ$ と $W_{τ}$ の積の期待値を与えるマルチンゲールを見つけ、任意抽出定理を使う。

ヒント 2

$W_{t}^{3} - 3 t W_{t}$ はマルチンゲールである。これから $E [τ W_{τ}]$ が求まり、 $E [τ]$ と合わせると、 $τ$ を ${W_{τ} = 1}$ 上と ${W_{τ} = - 2}$ 上に分けた期待値についての連立方程式ができる。

ヒント 3

$P (W_{τ} = 1) = \frac{2}{3}$ 、 $E [τ] = 2$ 、 $E [τ W_{τ}] = - \frac{2}{3}$ である。 $U = E [τ 1_{{W_{τ} = 1}}]$ 、 $D = E [τ 1_{{W_{τ} = - 2}}]$ とおくと、 $U + D = 2$ 、 $U - 2 D = - \frac{2}{3}$ となる。

答えと解説

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\frac{5}{3}

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解説を読む

準備. $P (τ > n) \leq P (∣ W_{k} - W_{k - 1} ∣ < 3 (k = 1, \dots, n)) = q^{n}$ （ $q = P (∣ W_{1} ∣ < 3) < 1$ ）なので、 $τ$ は指数的な裾をもち、 $P (τ < \infty) = 1$ かつ任意の次数のモーメントが有限である。また $∣ W_{t \land τ} ∣ \leq 2$ である。

(1) 到達確率. $W_{t}$ はマルチンゲールであり、 $∣ W_{t \land τ} ∣ \leq 2$ で有界だから、任意抽出定理と有界収束定理より $E [W_{τ}] = 0$ である。 $p = P (W_{τ} = 1)$ とおくと $p \cdot 1 + (1 - p) (- 2) = 0$ より $p = \frac{2}{3}$ 。

(2) $E [τ]$ . 伊藤の公式より $d (W_{t}^{2} - t) = 2 W_{t} d W_{t}$ だから $W_{t}^{2} - t$ はマルチンゲールである。 $E [W_{t \land τ}^{2}] = E [t \land τ]$ で $t \to \infty$ とすると、左辺は有界収束定理、右辺は単調収束定理により
$E [τ] = E [W_{τ}^{2}] = \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 4 = 2.$

(3) $E [τ W_{τ}]$ . $M_{t} = W_{t}^{3} - 3 t W_{t}$ とおくと、伊藤の公式より
$d M_{t} = 3 W_{t}^{2} d W_{t} + 3 W_{t} d t - 3 W_{t} d t - 3 t d W_{t} = (3 W_{t}^{2} - 3 t) d W_{t}$
なので $M_{t}$ はマルチンゲールであり、 $E [M_{t \land τ}] = 0$ が成り立つ。 $∣ M_{t \land τ} ∣ \leq 8 + 6 τ$ であり $E [τ] < \infty$ だから、優収束定理により $E [W_{τ}^{3} - 3 τ W_{τ}] = 0$ を得る。ここで
$E [W_{τ}^{3}] = \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot (- 8) = - 2$
だから、 $E [τ W_{τ}] = - \frac{2}{3}$ である。

(4) 連立. $U = E [τ 1_{{W_{τ} = 1}}]$ 、 $D = E [τ 1_{{W_{τ} = - 2}}]$ とおくと
$U + D = E [τ] = 2, U - 2 D = E [τ W_{τ}] = - \frac{2}{3} .$
第 1 式から第 2 式を引くと $3 D = \frac{8}{3}$ より $D = \frac{8}{9}$ 、したがって $U = \frac{10}{9}$ である。

(5) 結論.
$E [τ ∣ A] = \frac{U}{p} = \frac{10/9}{2/3} = \frac{5}{3} .$

（検算: $E [τ ∣ W_{τ} = - 2] = D / (1 - p) = \frac{8/9}{1/3} = \frac{8}{3}$ であり、 $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{3} = 2 = E [τ]$ となって整合する。）

別解

区間を $(0, 3)$ にずらすと、 $W$ は出発点 $x = 2$ のブラウン運動として扱える（ $- 2 \to 0$ , $1 \to 3$ ）。 $L = 3$ とおく。

$P (A) = x / L = 2/3$ 。

$u (x) = E_{x} [τ 1_{A}]$ とおくと、 $u$ は $\frac{1}{2} u^{''} = - P_{x} (A) = - x / L$ 、 $u (0) = u (L) = 0$ を満たす。

これを解くと $u^{''} = - 2 x / L$ より $u = - \frac{x ^{3}}{3 L} + c x$ 。 $u (L) = 0$ から $c = L /3$ なので、
$u (x) = \frac{x ( L ^{2} - x ^{2} )}{3 L} .$

$x = 2, L = 3$ を代入すると $u (2) = \frac{2 \cdot 5}{9} = \frac{10}{9}$ 。

よって $E [τ ∣ A] = \frac{10/9}{2/3} = \frac{5}{3}$ 。

検算：対称な区間 $(- a, a)$ で同じ公式を使うと $E [τ ∣ A] = a^{2}$ となり、 $E [τ] = a^{2}$ という既知の結果と一致する。

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