確率解析の問題

$r=|x|$ と書く。

1. 到達確率. $3$ 次元では $1/|x|$ は ${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ で調和である。境界条件 $h=1(r=1)$, $h=0(r=3)$ を満たす調和関数は
$$h(x)=\frac{3}{2r}-\frac{1}{2}.$$
球殻は有界なので $E[\tau ]<\infty$（実際 $E[{\tau }^k]<\infty$ がすべての $k$ で成り立つ）であり、$\tau <\infty$ a.s.。伊藤の公式から $h(B_{t\wedge \tau })$ は有界なマルチンゲールなので、任意抽出定理により $P(A)=E[h(B_{\tau })]=h(x_0)$。$r=\frac{3}{2}$ で
$$P(A)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$

2. $E[\tau 1_A]$ を微分方程式に帰着. $1_A=h(B_{\tau })$ である。伊藤の公式より $d(th(B_t))=h(B_t)dt+t\nabla h(B_t)\cdot d{B}_t$（$\Delta h=0$ のため）。よって
$$\tau h(B_{\tau })={\int }_0^{\tau }h(B_s)ds+{\int }_0^{\tau }s\nabla h(B_s)\cdot d{B}_s.$$
球殻上で $|\nabla h|$ は有界で $E[{\tau }^3]<\infty$ だから確率積分の期待値は $0$。したがって
$$E[\tau 1_A]=E[{\int }_0^{\tau }h(B_s)ds]=:v(x_0).$$
再び伊藤の公式と任意抽出定理より、$v$ は境界値問題
$$\frac{1}{2}\Delta v=-h(1<r<3),v=0(r=1,3)$$
の解である（解 $v$ に伊藤の公式を適用すると $v(B_{t\wedge \tau })+{\int }_0^{t\wedge \tau }h(B_s)ds$ がマルチンゲールとなり、$t\to \infty$ で有界収束定理を用いればよい）。

3. 動径方向の方程式を解く. $3$ 次元の動径関数では $\Delta v=v^{\prime \prime }+\frac{2}{r}{v}^{\prime }=\frac{1}{r}(rv{)}^{\prime \prime }$。よって
$$\frac{1}{r}(rv{)}^{\prime \prime }=-2h=-\frac{3}{r}+1⟹(rv{)}^{\prime \prime }=-3+r.$$
積分して $rv=-\frac{3}{2}{r}^2+\frac{1}{6}{r}^3+Cr+D$、すなわち
$$v(r)=-\frac{3}{2}r+\frac{1}{6}{r}^2+C+\frac{D}{r}.$$
$v(1)=0$: $-\frac{3}{2}+\frac{1}{6}+C+D=0$ より $C+D=\frac{4}{3}$。
$v(3)=0$: $-\frac{9}{2}+\frac{3}{2}+C+\frac{D}{3}=0$ より $C+\frac{D}{3}=3$。
辺々引いて $\frac{2}{3}D=\frac{4}{3}-3=-\frac{5}{3}$、よって $D=-\frac{5}{2}$, $C=\frac{23}{6}$。

$r=\frac{3}{2}$ を代入すると
$$v\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{9}{4}+\frac{3}{8}+\frac{23}{6}-\frac{5}{3}=\frac{-54+9+92-40}{24}=\frac{7}{24}.$$

4. 結論.
$$E[\tau \mid A]=\frac{7/24}{1/2}=\frac{7}{12}.$$
（検算: $\frac{1}{2}\Delta u=-1$ から $E[\tau ]=u(\frac{3}{2})=-\frac{r^2}{3}+\frac{13}{3}-\frac{4}{r}{|}_{r=3/2}=\frac{11}{12}$ であり、$E[\tau 1_{A^c}]=\frac{11}{12}-\frac{7}{24}=\frac{5}{8}$ も同様の計算で一致する。）

$r=|B_t|$ とおく。$r$ は 3 次元ベッセル過程で、生成作用素は $L=\frac{1}{2}({\partial }_r^2+\frac{2}{r}{\partial }_r)$ である。

1. $P(A)$ を求める。$h(r)=P_r(A)$ は $Lh=0$ かつ $h(1)=1,h(3)=0$ を満たす。よって $h(r)=\frac{1/r-1/3}{1-1/3}=\frac{3}{2r}-\frac{1}{2}$。$r=3/2$ では $h=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ なので、$P(A)=\frac{1}{2}$ となる。

2. $g(r)=E_r[\tau 1_A]$ を求める。マルコフ性より $Lg=-h$、境界条件は $g(1)=g(3)=0$ である。すなわち $g^{\prime \prime }+\frac{2}{r}{g}^{\prime }=-\frac{3}{r}+1$。
$g=u/r$ とおくと $(rg{)}^{\prime \prime }=r(g^{\prime \prime }+\frac{2}{r}{g}^{\prime })$ なので $u^{\prime \prime }=-3+r$。積分して $u=-\frac{3}{2}{r}^2+\frac{1}{6}{r}^3+ar+b$。

3. 境界条件から $u(1)=0$ より $-\frac{4}{3}+a+b=0$、$u(3)=0$ より $-9+3a+b=0$。これを解いて $a=\frac{23}{6}$、$b=-\frac{5}{2}$。

4. $r=\frac{3}{2}$ で $u=-\frac{27}{8}+\frac{27}{48}+\frac{23}{4}-\frac{5}{2}=\frac{-162+27+276-120}{48}=\frac{7}{16}$。したがって $g(3/2)=\frac{7}{16}\cdot \frac{2}{3}=\frac{7}{24}$。

5. $E[\tau \mid A]=\frac{7/24}{1/2}=\frac{7}{12}$。

検算として、$E[\tau ]$ を同様に求めると $f(r)=\frac{1}{r}\left(-\frac{r^3}{3}+\frac{13}{3}r-4\right)$ なので $f(3/2)=\frac{11}{12}$。このとき $E[\tau 1_{A^c}]=\frac{11}{12}-\frac{7}{24}=\frac{5}{8}$ なので $E[\tau \mid A^c]=\frac{5}{4}$ となる。外側の球面に先に到達する方が時間がかかるという直観と矛盾せず、妥当である。