指数マルチンゲールと多項式マルチンゲール

$e^{λ W_{t} - λ^{2} t /2}$ （ $λ$ は複素数でもよい）や $W_{t}^{2} - t$ , $W_{t}^{3} - 3 t W_{t}$ がマルチンゲールであることを伊藤の公式で確かめ、 $E [e^{W_{T}} cos W_{T}]$ のような期待値を求められる

前提

伊藤の公式（大学院数学確率解析）

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算数中学高校大学大学院

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伊藤の公式（大学院数学確率解析）

説明

ブラウン運動 $W$ の関数 $M_{t} = f (t, W_{t})$ のうち、 $f_{t} + \frac{1}{2} f_{xx} = 0$ を満たすものはマルチンゲールになります。代表例が指数マルチンゲール $e^{λ W_{t} - λ^{2} t /2}$ （ $λ$ は複素数でもよい）と、多項式マルチンゲール $W_{t}^{2} - t$ , $W_{t}^{3} - 3 t W_{t}$ , $W_{t}^{4} - 6 t W_{t}^{2} + 3 t^{2}$ などです。これらを伊藤の公式で確かめ、「マルチンゲールの期待値は一定」という性質から $E [W_{T}^{4}]$ や $E [e^{a W_{T}} cos b W_{T}]$ のような期待値を、密度の積分を計算せずに求められるようになります。

なぜそうしてよいのか

伊藤の公式より $d M_{t} = (f_{t} + \frac{1}{2} f_{xx}) (t, W_{t}) d t + f_{x} (t, W_{t}) d W_{t}$ です。 $d t$ の項の係数が恒等的に 0 なら $M_{t} = M_{0} + \int_{0}^{t} f_{x} (s, W_{s}) d W_{s}$ と伊藤積分だけで書けます。伊藤積分は、被積分関数が $E \int_{0}^{T} ∣ f_{x} (s, W_{s}) ∣^{2} d s < \infty$ を満たせば $[0, T]$ でマルチンゲールなので、 $M$ もマルチンゲールになり、特に $E [M_{T}] = M_{0}$ です。

$f (t, x) = e^{λ x - λ^{2} t /2}$ では $f_{t} = - \frac{λ ^{2}}{2} f$ , $f_{xx} = λ^{2} f$ なので $f_{t} + \frac{1}{2} f_{xx} = 0$ となります。 $e^{λ W_{t}}$ 単独では $\frac{λ ^{2}}{2} e^{λ W_{t}} d t$ の「ずれ」が出るので、それを打ち消す補正因子 $e^{- λ^{2} t /2}$ を掛けている、と見ることができます。 $λ = a + bi$ が複素数のときは、 $f$ を実部と虚部に分けると各々が実数値の $C^{1, 2}$ 関数で、同じ式 $f_{t} + \frac{1}{2} f_{xx} = 0$ を満たすので、実部・虚部ごとに伊藤の公式を使えば同じ結論になります。

多項式マルチンゲールは、指数マルチンゲールを $λ$ のべき級数に展開すると現れます。 $e^{λ x - λ^{2} t /2} = 1 + λ x + \frac{λ ^{2}}{2} (x^{2} - t) + \frac{λ ^{3}}{6} (x^{3} - 3 t x) + \frac{λ ^{4}}{24} (x^{4} - 6 t x^{2} + 3 t^{2}) + \dots$ で、各係数も $f_{t} + \frac{1}{2} f_{xx} = 0$ を満たします。もちろん直接確かめることもでき、たとえば $f = x^{3} - 3 t x$ なら $f_{t} = - 3 x$ , $f_{xx} = 6 x$ で和は 0 です。

手順

調べたい $M_{t} = f (t, W_{t})$ について $f_{t}$ , $f_{x}$ , $f_{xx}$ を計算する（複素数値なら実部・虚部ごとに、あるいは $λ$ を定数として形式的に微分してよい）
伊藤の公式 $d M_{t} = (f_{t} + \frac{1}{2} f_{xx}) d t + f_{x} d W_{t}$ に代入し、 $f_{t} + \frac{1}{2} f_{xx} = 0$ を確かめる（例: $e^{λ x - λ^{2} t /2}$ , $x^{2} - t$ , $x^{3} - 3 t x$ ）
$E \int_{0}^{T} ∣ f_{x} (s, W_{s}) ∣^{2} d s < \infty$ を確かめ、 $M_{t} = M_{0} + \int_{0}^{t} f_{x} d W_{s}$ が $[0, T]$ でマルチンゲールであると結論する
マルチンゲールの期待値は一定なので $E [M_{T}] = M_{0} = f (0, 0)$ とし、求めたい期待値について解く（例: $E [e^{λ W_{T}}] = e^{λ^{2} T /2}$ ）
三角関数を含む期待値はオイラーの公式で $e^{(a + bi) W_{T}} = e^{a W_{T}} (cos b W_{T} + i sin b W_{T})$ と書き、実部・虚部を比べて取り出す

例題

$W$ を標準ブラウン運動（ $W_{0} = 0$ ）、 $T > 0$ とする。指数マルチンゲールを用いて、期待値 $E [e^{2 W_{T}} sin W_{T}]$ を $T$ の式で求めよ。

例題の解答

$λ = 2 + i$ とし、 $f (t, x) = e^{λ x - λ^{2} t /2}$ , $M_{t} = f (t, W_{t})$ とおく。 $λ^{2} = (2 + i)^{2} = 3 + 4 i$ である。

手順 1: $f_{t} = - \frac{λ ^{2}}{2} f$ , $f_{x} = λ f$ , $f_{xx} = λ^{2} f$ （実部・虚部に分けても同じ式が成り立つ）。

手順 2: 伊藤の公式より
$d M_{t} = (- \frac{λ ^{2}}{2} + \frac{λ ^{2}}{2}) M_{t} d t + λ M_{t} d W_{t} = λ M_{t} d W_{t} .$

手順 3: $∣ M_{t} ∣ = ∣ e^{λ W_{t}} ∣ ∣ e^{- λ^{2} t /2} ∣ = e^{2 W_{t}} e^{- 3 t /2}$ なので
$E ∣ λ M_{t} ∣^{2} = 5 e^{- 3 t} E [e^{4 W_{t}}] = 5 e^{- 3 t} e^{8 t} = 5 e^{5 t},$
これは $[0, T]$ で積分すると有限である（ $E [e^{c W_{t}}] = e^{c^{2} t /2}$ は正規分布の積率母関数）。よって $M_{t} = 1 + \int_{0}^{t} λ M_{s} d W_{s}$ は（実部・虚部とも） $[0, T]$ でマルチンゲールである。

手順 4: $E [M_{T}] = M_{0} = 1$ より
$E [e^{(2 + i) W_{T}}] = e^{λ^{2} T /2} = e^{(3 + 4 i) T /2} = e^{3 T /2} (cos 2 T + i sin 2 T) .$

手順 5: オイラーの公式より $e^{(2 + i) W_{T}} = e^{2 W_{T}} cos W_{T} + i e^{2 W_{T}} sin W_{T}$ 。両辺の虚部を比べて
$E [e^{2 W_{T}} sin W_{T}] = e^{3 T /2} sin 2 T .$
（ついでに実部から $E [e^{2 W_{T}} cos W_{T}] = e^{3 T /2} cos 2 T$ もわかる。）

答え: $e^{\frac{3 T}{2}} sin 2 T$

よくある誤り

複素数の $λ = a + bi$ で $λ^{2}$ を $a^{2} + b^{2}$ （ $∣ λ ∣^{2}$ ）としてしまう誤り。補正因子は $e^{- λ^{2} t /2}$ で、 $λ^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 abi$ 。たとえば $λ = 2 + i$ なら $λ^{2} = 3 + 4 i$ で、 $E [e^{(2 + i) W_{T}}] = e^{(3 + 4 i) T /2}$ （ $e^{5 T /2}$ ではない）
通常の微分と同じように $d (e^{λ W_{t}}) = λ e^{λ W_{t}} d W_{t}$ として、 $e^{λ W_{t}}$ 自体がマルチンゲールだと考えてしまう誤り。正しくは $d (e^{λ W_{t}}) = λ e^{λ W_{t}} d W_{t} + \frac{λ ^{2}}{2} e^{λ W_{t}} d t$ で、マルチンゲールなのは $e^{λ W_{t} - λ^{2} t /2}$ 。同様に $W_{t}^{3}$ ではなく $W_{t}^{3} - 3 t W_{t}$
$d t$ の項が消えたことだけで、すぐにマルチンゲールだと結論してしまう誤り。伊藤積分 $\int_{0}^{t} f_{x} d W_{s}$ がマルチンゲールになるには $E \int_{0}^{T} ∣ f_{x} (s, W_{s}) ∣^{2} d s < \infty$ などの可積分性が必要で、これを確かめてから $E [M_{T}] = M_{0}$ を使う（上の例では $E ∣ λ M_{t} ∣^{2} = 5 e^{5 t}$ ）
実部・虚部の取り出しで、 $e^{λ^{2} T /2}$ の偏角を $W_{T}$ の係数と混同してしまう誤り。たとえば $E [e^{2 W_{T}} sin W_{T}] = e^{3 T /2} sin T$ とするのは誤りで、偏角は $λ^{2} T /2 = \frac{3 T}{2} + 2 T i$ の虚部 $2 T$ から決まり、正しくは $e^{3 T /2} sin 2 T$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

脱出時刻の高次モーメントと条件付き期待値（大学院数学確率解析）